Колорирование в 2 цвета: 2021 Мелирование волос в два цвета – Alfa Prof – Estel

Содержание

Окрашивание волос в два цвета в домашних условиях » WomanMirror

В последнее время очень модным стало окрашивание волос в два цвета, оно популярно как среди взрослых женщин, так и среди юных девушек. С помощью такого решения можно легко добиться эффекта естественности в стиле «натюрель» либо создать незабываемый шикарный образ для вечеринки. Конечно, лучше всего проводить окрашивание не самостоятельно, а доверившись опытному мастеру. На сегодняшний день существует несколько вариантов такого окрашивания волос.

Виды окрашивания волос в два цвета

Колорирование

Чтобы применить такой способ окрашивания, шевелюру необходимо разделить на тонкие прядки и окрасить их в несколько оттенков с переходом плавным или наоборот, подчеркивающим контраст. Своими руками такое окрашивание сделать очень трудно, так как краску на прядки нужно наносить аккуратно.

Брондирование

Брондирование – одна из разновидностей колорирования. Хотя оно пользуется особой популярностью, сделать его достаточно трудно, так как технология выполнения отличается сложностью – нужно подобрать несколько оттенков, сочетающихся как между собой, так и с натуральным цветом шевелюры. Название происходит от слов «брюнет» и «блонд», то есть, в прическе должны наиболее естественно сливаться эти два цвета с переходом без яркого контраста. Обычно коричнево-золотистый и бежевый цвет являются основной гаммой.

Омбре (деграде)

Омбре, его еще называют деграде, шатуш, балаяж, венецианское и калифорнийское мелирование – это «теневое» окрашивание волос в два цвета, также называемое поперечным или горизонтальным колорированием. Создается естественный эффект отросших волос с темными корнями и более светлыми кончиками. Переход можно сделать как плавным, так и резким, это уже зависит от желания обладательницы волос. Технология такого окрашивания несложная, процесс осуществляется поэтапно, так что его можно попробовать сделать и в домашних условиях.

3D–окрашивание

Очень сложный технический процесс, который создает естественную объемную прическу из нескольких тонов одной гаммы. Технология ее создания подразумевает использование только темных либо только светлых оттенков.

Мелирование

В этом случае окрашивание волос в два цвета проводится с целью создать естественный эффект светлых волос с темными прядками при помощи выборочного обесцвечивания прядей. Если волосы темные по природе, может проводиться только обесцвечивание прядок, если же присущий локонам оттенок не нравится их обладательнице, то может проводиться двутональное окрашивание волос – и в светлый, и в темный тон. Так как мелирование обычно выбирают, чтобы создать эффект природного блонда, существуют несколько его разновидностей:

Мажимеш. Инструкция моделирования прически в этом случае подразумевает использование краски на кремовой основе, которая не сильно травмирует локоны, кроме того, к ней добавляется воск. В состав такой краски не входит пергидроль, поэтому можно будет получить лишь медовые и золотистые оттенки, но не платиновые.
Балаяж. Схема данного способа – это сочетание как колорирования, так и мелирования. То есть, проводится осветление волос, а окраску проводят только на кончиках.
Шатуш. Представляет собой имитацию естественного выгорания благодаря осветлению прядей. Для этого в случайном порядке окрашиваются несколько прядей, с отступом на два-три сантиметра от корней. Чтобы границы окрашивания были сглаженными, пряди рекомендуется начесывать.

Покраска волос в два цвета в домашних условиях

Стоит сразу заметить, что окрашивание волос в два цвета – сложный процесс, требующий определенных навыков и опыта. Поэтому доверять его все-таки лучше профессиональному колористу. Тем не менее, в некоторых случаях такая покраска возможна и в домашних условиях, особенно если хочется что-то простое и незамысловатое. В этом случае нужно запастись определенными материалами и пошагово выполнять инструкцию, описанную ниже.

Из материалов нужно подготовить кисточки (для каждого оттенка отдельную), фольгу (кусочками 10х20 см), расческу с редкими зубьями, емкости для смешивания красок, непосредственно краску, старую одежду и полотенца.

Двутональное окрашивание волос можно проводить самостоятельно подобранными оттенками или же приобрести уже готовый набор для колорирования. Для такой покраски рекомендуется выбирать более темные или более светлые, чем естественный оттенок цвета, но не более чем на три тона. Перед окрашиванием необходимо в обязательном порядке ознакомиться с инструкцией, прилагающейся к краске, и провести тест на аллергию (нанести немного краски на незаметный участок кожи).

Технология окрашивания

В первую очередь необходимо смешать краску так, как написано на ее упаковке.
Далее нужно выделить пряди для окрашивания и закрепить их заколками. Их ширина не должна превышать 0,5 см, иначе у прически будет неопрятный вид.
После этого под прядь нужно подложить фольгу (край фольги у корней нужно подогнуть вниз), осторожно нанести на нее краску и завернуть фольгу вокруг. Фольга должна быть хорошо закреплена, чтобы не съезжала с прядок. Таким же образом прокрашиваются все выбранные пряди, от челки к затылку.
Нанеся краску, необходимо выдержать определенное время согласно инструкции, после чего вымыть голову с помощью шампуня.
Чтобы нейтрализовать агрессивное воздействие краски на волосы, после мытья рекомендуется воспользоваться восстанавливающей маской для волос или бальзамом. Часто подходящее средство прилагается к краске или же его можно приобрести дополнительно из линейки того же производителя, что и краска.

Устроив свежеокрашенным волосам водные процедуры, их нужно аккуратно просушить полотенцем и дать самостоятельно высохнуть, без применения фена или утюжка.

Почему стоит обратиться к профессиональному колористу

Воспользоваться услугами профессионального парикмахера, специализирующегося на окрашивании, стоит для того, чтобы получить стильную, модную и красивую прическу. Только профессионал знает, какие оттенки сейчас в моде, и как их правильно нанести, чтобы волосы выглядели максимально естественно и эффектно. К тому же, он сможет посоветовать, необходимо ли предварительное выравнивание цвета шевелюры или можно без подготовки работать с натуральным оттенком.

Видео: техника окрашивания Омбре в два цвета

Окрашивание волос в два цвета

Главная » Окрашивание » Окрашивание волос в два цвета

Покраска волос в два цвета с фото-подборкой и объяснением, какие бывают техники

Каждая женщина хотя бы раз в жизни пыталась изменить природный цвет волос. Сегодня рынок парикмахерских услуг готов предложить много различных видов и техник окрашивания волос, поэтому превратиться из брюнетки в блондинку и наоборот, или стать шатенкой с мелированными прядями можно буквально за десять минут. Причем это касается даже обладательниц длинных волос. Как происходит покраска волос в два цвета на длинные волосы, средние и короткой длины – будет рассказано ниже.

Что это такое?

Двухцветное окрашивание — очень модная в последние годы техника окраски волос, при которой все волосы окрашиваются в два цвета — темный или близкий к естественному оттенку на основной части головы и более светлый — на кончиках.

Существует две основные техники двухцветного окрашивания: колорирование (выделение отдельных прядок) и мелирование (обработка кончиков волос). При колорировании волос всегда наблюдается плавный переход от одного цвета к другому. Разберемся с каждым из этих типов окрашивания на разную длину волос.

Короткие волосы

Как покрасить короткие волосы в интересный и нескучный цвет? Этим вопросом задаются многие обладательницы коротких стрижек, которым уже порядком надоел собственный невыразительный цвет. Стилисты предлагают следующие типы окрашивания на короткие волосы: деграде, омбре, частичное колорирование.

1) Деграде — этот способ окраски заключается в том, что пряди волос окрашиваются равномерно по всей голове, но одним и тем же цветом. Окраска идет от корней волос до самых кончиков. Оттенок волос меняется постепенно, отчего стрижка приобретает дополнительный объем.

2) Омбре — при таком способе окраски вся верхняя часть волос красится в более темный цвет, а нижняяя — на два-три тона светлее или вообще в соседний с уже имеющимся цвет.

В этом резком переходе и есть основное отличие омбре от деграде. Волосы на макушке и концы как бы разделены на две части — темную и светлую, низ и верх.

3) Частичное колорирование. При таком окрашивании другим цветом выделяются лишь самые кончики волос или две-три отдельные пряди.

Короткие волосы деграде и омбре легко покрасить в домашних условиях.

Средние волосы

На средние волосы также применима окраска в 2 цвета методом деграде, омбре и частичное колорирование. Но здесь стоит сказать о том, что на волосах средней длины очень интересно смотрится такой необычный метод окраски, как мелирование. В частности, в прошлых годах в парикмахерских салонах была очень популярна окраска волос мелированием «соли и перец». Итоговым результатом был самый модный в 2015 году холодный пепельно-серый цвет волос. Небольшой минус: сделать такое колорирование можно только в салоне.

Длинные волосы

Как красиво покрасить длинные волосы, особенно если они не слишком яркого цвета? Cтилисты советуют попробовать сделать это в технике омбре и колорирование. Деграде вряд ли подойдет, так как из-за длины волос визуальный эффект объема будет смазанным.

На фото ниже показано, какого эффекта можно достичь с помощью метода покраски волос омбре на длинных волосах.

Обладательницам длинных волос можно попробовать еще три необычные техники окрашивания волос: балияж, шатуш и брондирование.

При балияже сильно окрашиваются лишь самые кончики волос, а сама техника соединяет в себе и колорирование, и мелирование.

В технике шатуш имитируется естественное выгорание волос путем их осветления, причем несколько прядей окрашиваются в случайном порядке, отступив от пробора на два-три сантиметра. Иногда окрашиваются пряди в глубине прически, что придает ей объем.

Брондирование, или калифорнийское мелирование очень подойдет блондинкам и женщинам с любым оттенком волос теплой золотистой гаммы. Суть окрашивания в том, что волосы сильно осветляют на самых концах, создавая эффект выгоревших на солнце.

Модно и стильно

Молодежь не признает спокойную классику или романтические образы, поэтому специально для молодых и эпатажных девушек стилисты придумали очень интересный вид окрашивания — трафаретный. То, как называется технология окрашивания, говорит само за себя: трафарет — значит посредством нанесения специального рисунка, а не просто отдельная окраска прядей. Хит текущего сезона — окрашивание в белый и черный цвета, а также тигровый принт на волосах.

Видео-подборка

webdiana. ru⁪>

Двухтональное окрашивание: разнообразие вариантов и образов

Не секрет, что каждая женщина в любом возрасте хочет выглядеть красиво и стильно. Важно, чтобы при этом также максимально скрывались недостатки, а достоинства же наоборот выделялись. С этой целью подбирают нужный макияж, соответствующую одежду, аксессуары и, конечно же, прическу. В последней немаловажную роль играет окрашивание. Если макияж можно делать каждый день по-разному, одежду просто поменять, то с покраской все не так просто. Поэтому необходимо ответственно подойти к выбору оттенков. На сегодняшний день окрашивание волос в два цвета является очень модным способом оформить прическу. Есть два основных метода покраски: мелирование и колорирование, которые, в свою очередь, также делятся на несколько подвидов. Рассмотрим их более детально.

Мелирование

Пожалуй, с этой процедурой знакомы многие девушки.

Суть классического мелирования заключается в окрашивании не всех волос, а только некоторых прядей, при этом натуральные локоны как бы смешиваются с покрашенными.

Осуществляется как на светлые, так и на темные локоны. Наиболее распространены следующие виды мелирования.

Балаяж

В данном случае краска наносится лишь на кончики (иногда чуть ниже середины волос, если позволяет длина), и мастер как бы «сметает» ее по поверхности, создавая тем самым эффект выгоревших прядей. Хорошо смотрится на шевелюре любой длины и любого типа, а также на женщинах любого возраста, поскольку позволяет визуально омолодить лицо.

Окрашивание балаяж:

Мажимеш

Пожалуй, самое щадящее окрашивание волос в два цвета, поскольку осуществляется оно при помощи кремовых красок, которые не содержат пергидроля и воска, которые на наносят вред локонам. Однако в этом случае не стоит ожидать получения платиновых оттенков, но вы смело можете рассчитывать на результат в виде медовых или золотистых локонов.

Шатуш

Здесь происходит окрашивание в более светлый оттенок случайно взятых прядей (как правило, отступая пару сантиметров от пробора) с целью имитировать природное выцветание локонов. Рекомендуется делать начес, чтобы переход между цветами казался более сглаженным.

Мелирование по технике шатуш:

Колорирование

Колорирование предполагает разделение волос на небольшие прядки и их дальнейшее окрашивание в разные оттенки. При этом переход между ними может быть и плавным с практически незаметной границей, и резким, с четко выделенной границей.

Эта покраска волос в два цвета бывает нескольких видов.

Омбре

Другое название — поперечное колорирование. Оно предполагает создание эффекта отросших корней, как правило, более темных, чем основная часть шевелюры. Осуществляется оно следующим образом: темный оттенок (шоколадный, каштановый, темно-коричневый и другие) наносится на волосы от корней до середины длины или чуть ниже. Оставшуюся часть окрашивают в более светлый оттенок (пепельный, светлый блонд, медовый и подобные). Границу растушевывают, тем самым создавая плавный переход между цветами.

Кстати, иногда используются не только натуральные оттенки, но и неестественные цвета, что в определенных случаях смотрится вполне уместно и креативно. Вообще, окрашивание считается несложным, поэтому его можно делать в домашних условиях.

Омбре самостоятельно:

Брондирование

Название, как и сама покраска, предполагает сочетание оттенков из разряда «блонд» и «брюнет». Переход должен быть плавным, а контраст между тонами — незаметным.

Важно подобрать не только цвета, которые гармонично сочетаются друг с другом, но и подходящие к оттенку вашей кожи и цвету глаз.

Такое окрашивание считается довольно сложным, поэтому рекомендуется делать его в салоне, где опытный мастер даст советы по выбору оттенков и произведет профессиональное брондирование.

Брондирование в салоне:

3D–окрашивание

Эта покраска волос в два цвета делается в одной цветовой гамме: или темной, или светлой. При этом небольшая разница между тонами выбранной гаммы придает ощутимый объем прическе. Такое окрашивание лучше делать только в салоне, чтобы результат не разочаровал вас.

Окрашивание волос в два цвета

Почему с новой прической начинается новый этап жизни, понять могут только женщины. Новые стильные стрижки, а иногда даже изменение цвета волос на пару тонов способны придать уверенности в себе. Окрашивание волос в два цвета – новая модная парикмахерская тенденция, к которой дамы начали обращаться все чаще. Два разных тона краски способны создать уникальный стильный имидж.

Преимущества покраски волос в два цвета

Окрашивание в два цвета – отличная идея для тех, кто хотел бы сменить имидж, но при этом не делать традиционного мелирования. Помимо того, что выглядит двойное окрашивание весьма неординарно, этот тип покраски может похвастаться и другими преимуществами:

При правильно подобранных тонах краски будет создаваться визуальный эффект объема. Волосы будут казаться более густыми и пышными.
В отличие от традиционного окрашивания и большинства видов мелирования покраска двумя цветами совершенно неприхотлива и не требует частых корректировок.
Необычная окраска волос в два цвета привлекает внимание окружающих. Таким образом, волосы перенимают на себя все взгляды и отвлекают от всех недостатков кожи (если таковые, конечно, имеются).
Такой метод окраски считается более лояльным, в особенности, если на части прядей будет сохраняться натуральный цвет волос.
Неоспоримый плюс – универсальность. Двойное окрашивание подходит обладательницам всех типов волос. Главное – подобрать подходящие оттенки краски.

Виды окрашивания волос в два цвета

Разновидностей двухцветного окрашивания волос существует достаточно много, поэтому подобрать что-то интересное для себя смогут даже самые привередливые модницы:

Поперечное колорирование принято называть также балаяжем или деграде. Заключается этот метод в использовании двух разных оттенков одного цвета. При покраске волос в два цвета методом поперечного колорирования прокрашивать пряди нужно полностью от корней до кончиков. Чередуйте разные оттенки краски. Результат окрашивания выглядит натуральным и в то же время необычным.
Отлично выглядят волосы, окрашенные в два цвета, по методу омбре или горизонтального колорирования. Принцип покраски такой же, как и при поперечном колорировании – используются два оттенка одного цвета. Но прокрашиваются волосы не по всей длине, а начиная с середины локона. Главная особенность метода – в плавности перехода. Все должно выглядеть максимально естественно.
Один из самых сложных методов – 3D-окрашивание в два цвета. Сделать его в домашних условиях практически невозможно. Для покраски используются разные оттенки краски одной цветовой гаммы. В результате прическа выглядит пышной и объемной.
Мажимеш – один из самых лояльных методов окрашивания в два цвета, при котором выбирается краска для волос на кремовой основе с добавлением натурального воска.
Частичное колорирование позволяет акцентировать внимание на отдельном элементе прически. Лучше всего смотрится оно на ассиметричных стрижках. При желании можно выделить только одну прядку или челку.
Шатуш – метод, позволяющий добиться эффекта естественного выгорания. Красками светлых оттенков прокрашиваются отдельные прядки, за счет чего визуально увеличивается объем прически.

Прежде чем красить волосы в два цвета, следует подобрать самый подходящий метод окрашивания и оттенки краски:

Яркие цвета хорошо смотрятся на молодых девушках. Дамам же постарше лучше отдать предпочтение более натуральным тонам краски.
Контрастные цвета старят и визуально делают прическу менее объемной.
Окрашивание по технике омбре лучше смотрится на волнистых волосах.
Обладательницам смуглой кожи лучше отдать предпочтение мелированию.

WomanAdvice.ru⁪>

Окрашивание волос в два цвета: обзор модных техник

Каждая женщина стремится быть неотразимой. Создать индивидуальный образ, быть «не как все» – вот главная цель истинной модницы. Оригинальная прическа отлично выделяет из толпы. Но как при этом добиться универсальности и не выйти за рамки повседневного образа? На помощь приходит окрашивание волос в два цвета. Это прекрасный способ найти золотую середину и свой собственный стиль.

Богатый выбор техник

Двухтональная покраска открывает перед вами массу возможностей. Сочетая всего лишь два цвета, вы можете творить со своей прической настоящие чудеса. Давайте рассмотрим самые актуальные сегодня разновидности такой покраски. Узнаем, как называется каждая из них, как делается, в чем преимущества.

Полоса светлая, полоса темная…

Помните времена, когда каждая модница считала своим долгом хотя бы раз испробовать на себе мелирование? Оно возвращается. Чередование натуральных и высветленных прядей снова находит отклик среди красавиц всех типов внешности. Конечно, для блондинок это более щадящий способ окрашивания. Ведь чем меньше тонов осветляется, тем целее остаются локоны. В любом случае грамотный уход за волосами после использования осветлителя одинаково интенсивно поможет сохранить шевелюру и светловолосым, и брюнеткам.

Теневой метод обольщения

В последние пару лет довольно модно стало окрашивание омбре. Это французская техника, ее название дословно переводится как «тень». Она стала настоящей находкой для брюнеток. Именно они смогли создавать потрясающе эффектные образы с такой контрастной покраской. Есть две разновидности омбре: градиентная (плавный переход) и резкая (четкая граница между двумя цветами). Оба вида дают массу возможностей для экспериментов. Кстати, сочетание темного и светлого в омбре – это всего лишь классика, но не закон. Можно использовать и обратный эффект – от светлого к темному, и любые цвета из богатой палитры красок, существующих в природе.

Поперек дороги

Еще одна довольно востребованная техника – поперечное колорирование. Она предполагает поочередное окрашивание волос на всю длину то в один, то в другой цвет. Как правило, этой техникой делают нижние пряди одного цвета, а те, что ложатся сверху, – второго. Невероятно стильно смотрятся в этой технике черный и белый цвета. Такой дуэт, вызывающий ассоциации с шахматным полем, достоин внимания строгих натур. В технике поперечного колорирования найдется место как натуральным, так и экспериментальным сочетаниям оттенков.

Прическа – холст художника

Если полет вашей фантазии соразмерен с готовностью на смелые авантюры, тогда вам подойдет частичное колорирование. Здесь нет четких правил. Отличительные особенности методики заключаются в том, что цвет, отличный от основного, может выделять участок прически произвольного размера или формы. Можно хоть картину рисовать – все в ваших руках! Для вдохновения посмотрите на фото:

Вспомним уроки геометрии

Хотите еще более эффектно и непредсказуемо поиграть красками на своих волосах? Тогда, возможно, вам подойдет техника треугольника.

А вот так называемое пиксельное окрашивание наверняка не оставит в стороне представительниц поколения next! Отличное освежающее решение для темных волос.

Зона повышенного внимания

Отдельно хочется отметить технику, немного схожую с поперечным колорированием. Это зональное окрашивание. Оно затрагивает лишь верхнюю часть волос, которую принято выделять более светлыми оттенками по сравнению с остальной массой. Но, как и во всех техниках, здесь тоже возможно отойти от правил.

Вместо заключения

Напоследок хочется напомнить, что выбрать «свою» технику – это еще не залог красивой прически. Важно обеспечить шевелюре правильный уход по восстановлению ее жизненной силы. В этом отношении повезло обладательницам коротких волос. Они могут запросто отстригать поврежденные кончики без ущерба для имиджа.

Подробнее обо всех вышеуказанных способах окрашивания узнаете из нашей подборки видео:

webdiana.ru⁪>

Окрашивание волос в два цвета. Виды окрашивания волос в два цвета.

Способы окрашивания волос в два цвета

Еще совсем недавно было крайне популярно мелирование. Собственно на этом сочетание сразу нескольких цветов на локонах в широких массах заканчивалось. Дизайнерские показы и представители субкультур не в счет. Сейчас же чего только ни предлагают в салонах красоты. И деграде, и омбре, и колорирование отдельных частей прически. Незнакомых терминов много. Запутаться в них проще простого. Но разобраться все же стоит. Потому как окрашивание волос в два цвета не только модно, но и имеет еще ряд преимуществ перед тонированием одним колером.

При использовании сразу нескольких цветов можно создать визуальный эффект объема. Это особенно ценно для обладательниц тонких и прямых волос. Плавно переходящий один тон к другому очень близкому выглядит как игра света на шевелюре и окружающим она кажется значительно пышнее.
Это отлично освежает облик. Такой окрас не акцентирует внимание на недостатках кожи (прыщах, морщинах), тем самым омолаживая и украшая любую женщину.
Продолжая предыдущую мысль, двухцветная шевелюра к лицу любому типу внешности, подходит всем, смотрится гармонично при любом цветотипе внешности.
Достаточно несложно в уходе. В отличие от однотонного, окрашивание волос в два близких цвета значительно реже требует корректировки. Особенно если это не мелирование, а, например, омбре. Но в целом, чем естественнее техника, тем реже придется обращаться к мастеру.
Частичная окраска, когда одни пряди остаются натуральными, а другие обретают новый цвет, является более щадящей для локонов. И в восстановлении иногда не возникает необходимости или оно требует гораздо меньших усилий.

Окрашивание волос в два цвета — виды

Мелирование

Первым, наиболее известным, является мелирование. При этой технике часть прядок обесцвечиваются или окрашиваются в более светлые, чем натуральный цвет, тона. Это не особо щадящая процедура. Так как чем сильнее осветляются пряди, тем больше нарушается их структура. Поэтому при выборе этого вида окрашивания позаботьтесь и о восстановлении шевелюры.

Нужно заметить, светлые прядки потребуют к себе повышенного внимания еще и потому, что они достаточно быстро будут терять первоначальный лоск отрастая. Коррекция может потребоваться уже через месяц. Все зависит от формы окрашивания. Но в целом же мелирование очень освежает и преображает прическу. Его достаточно просто выполнить самим на дому. Но мастер наверняка достигнет гораздо лучшего результата.

Как сделать мелирование в домашних условиях?

Если вы все таки соберетесь мелироваться самостоятельно, то приобретите средство для осветления или окрашивания, фольгу, кисточку и перчатки. Слегка увлажните волосы и отделите сверху около лица тоненькую прядку. Уложите ее на небольшой прямоугольник фольги и обработайте разведенным по инструкции средством. Заверните фольгу и выделите следующую прядку с противоположной стороны лица.

Делать нужно все достаточно быстро, чтобы окраска получилась равномерной. Так необходимо оформить всю верхушку. По истечении положенного времени краску смыть. Только будьте аккуратны и не берите слишком широкие пряди, иначе не получится ожидаемого образа, а результатом станет полностью светлый верх и темный низ.

Омбре

Очень модный и эффектный способ окрашивания волос в два цвета. При этом на голове создается постепенный переход от затемненной макушки к осветленным кончикам. Выглядит так, будто внизу пряди выгорели на солнце. Такая игра цвета смотрится очень необычно, но между тем достаточно естественно.

Что не может ни радовать – ухода такой способ преображения потребует минимального. Так как, отрастая, волосы не изменят общей концепции и их не нужно будет постоянно подкрашивать. Конечно, если цвет темной части является натуральным или подобран под него. Минус такого окрашивания лишь в том, что осветляются именно кончики, которые и без того обычно несколько суше, чем волосы у корней. Поэтому дополнительное увлажнение для поддержания здоровья шевелюры следует обязательно предусмотреть.

Поперечное колорирование

Суть его состоит в том, что волосы окрашиваются в два цвета по всей длине попеременно. То есть часть прядей обретают один оттенок, а оставшиеся второй. При этом чаще всего выбираются близкие друг к другу тона. Так прическа смотрится крайне естественно и благородно. Однако можно отдать предпочтение и контрастным цветам.

Поперечное колорирование, как и мелирование, вполне можно сделать самостоятельно. Техника в целом та же. Можно собрать в пучок верхние волосы и окрасить одной (чаще светлой) краской оставшиеся нижние. Затем смыть состав и приступить к обработке верхних прядей. Они будут темнее. Такой переход от более светлых волос к темным отлично добавляет объем и живость прическе.

Частичное колорирование

Здесь открывается простор для фантазии. Этим способом можно выделять какие-то части прически, делая на них акцент и привлекая дополнительное внимание. К примеру, с прической боб, где передние прядки красиво обрамляют лицо, можно затонировать как раз их и тем самым выделить привлекательные скулы и губы. Или же, желая сконцентрировать взгляды на утонченных бровях или красивых глазах, выкрасить челку.

Особенно выигрышно смотрятся ассиметричные стрижки с таким способом окрашивания. Возможно даже нанесение замысловатого рисунка на ровную гладь волос. Это, конечно, по силам исключительно талантливому мастеру. Но результат однозначно позволит произвести впечатление.

И в заключении, еще немного рекомендаций, какой же все-таки способ окрашивания волос в два цвета предпочесть.

Слишком яркие контрасты и цвета зрительно добавляют возраста. Поэтому, если желаете выглядеть моложе, выбирайте естественные мотивы и оттенки.
Контрастные цвета также не добавляют объема шевелюре. Поэтому позволить себе их без ущерба могут лишь обладательницы пышных локонов.
Мелирование замечательно подчеркивает смуглую кожу.
Делая омбре, учитывайте, что на волнистых волосах эта техника смотрится лучше.
Колорирование подчеркивает черты лица.

Окрашивание волос в два цвета – прекрасная возможность преобразиться. Экспериментируйте, удивляйте себя и окружающих и будьте всегда прекрасны!

Окрашивание волос в два цвета для блондинок (фото)

Изменение цвета волос – одна из тех процедур, которые способны обновить стиль, имидж и даже немного повлиять на характер. В настоящее время окрашивание актуально как никогда, ведь новые технологии позволяют добиться совершенно необычных эффектов. Среди светловолосых девушек стала популярна такая техника как окрашивание волос в два цвета, для блондинок фото таких знаменитостей как Дженнифер Энистон, Джессика Альба послужит примером идеального результата процедуры.

Двухцветное окрашивание волос для блондинок

Эксперименты с цветом волос ограничены только лишь фантазией. Каждый новый сезон несет с собой новые тенденции цветов, следовать им или прислушиваться к себе – выбор каждой представительницы прекрасного пола.

Выглядеть стильно сегодня легко, ведь в салонах предлагается такой широкий выбор процедур по приданию волосам привлекательного вида и оздоровлению. Часть из них можно повторить без труда в домашних условиях.

Не забывайте, что двойное окрашивание, как и обычное, предполагает особый уход за волосами. Вам не обойтись без специальных средств – шампуня для окрашенных волос, кондиционера или бальзама, а также восстанавливающих масок.

розовый подтон

один цвет на несколько оттенков светлее

Основные стили окрашивания

Самым популярным приемом двухцветного окрашивания сегодня является покраска верхних и нижних слоев волос в разные цвета. Верхний обычно – в светлый, нижний – в темный.

Окраска кончиков также может быть двухцветной. Очень интересно смотрятся на светлых волосах отдельно выделенные яркие пряди или челка. При этом они могут быть не только вертикально окрашенными, но и горизонтально.

Благодаря некоторым знаменитостям в моду вошло окрашивание по пробору. Половина волос при этом красится в один цвет, вторая половина – в другой. Цвета могут быть контрастными.

мелирование

контрастное окрашивание кончиков

контрастное мелирование

кончики в розовом цвете

колорирование отдельной пряди

Колорирование

Если от природы у вас светлые волосы, то можно рассмотреть такой вариант как колорирование, который сделает цвет интересным и насыщенным. Оттенки краски подбираются мастером с учетом ваших пожеланий. Переход между оттенками локонов может постепенным и размытым или же контрастным, резким. Первый вариант создает эффект естественности, второй же привлекает внимание своей необычностью. В колорировании выделяют несколько направлений.

колорирование двумя светлыми оттенками

Омбре

Омбре носит название «шатуш» или «венецианское мелирование». Оно создает эффект отросших корней более темного цвета в сочетании со светлыми кончиками. Такой вариант очень удачен для блондинок, поскольку можно подобрать цветовую гамму близкую к натуральному цвету, но насытить ее оттенками.

омбре

Брондирование

Брондирование намного сложнее омбре. В этом случае на мастера ложится большая ответственность по подбору гармонично дополняющих друг друга цветов. Они должны сочетаться между собой и с натуральным цветом. Экспериментировать можно с темными и светлыми оттенками. Для блондинок подойдут популярные бежевые тона и коричневые с золотистым оттенком.

брондирование

3D окрашивание и частичное колорирование

3D окрашивание подразумевает окрашивание в цвета одной гаммы. Таким образом волосы приобретают интересный эффект многотонного окрашивания. Обладательницам светлых волос можно сделать цвет более насыщенным, если подобрать гамму, близкую к натуральному оттенку.

Частичное колорирование, которое акцентирует внимание на одном элементе прически.

3D технология

Мелирование для блондинок

Мелирование – это технология окраски волос с использованием двух цветов, чтобы добиться эффекта натуральных светлых прядей на темных или же разноцветных. Его обычно выбирают для того, чтобы добиться цвета «блонд», поэтому блондинкам от природы нужно выбирать особенное сочетание цветов.

Виды мелирования:

шатуш. С его помощью создается эффект выгоревших под солнцем локонов. Осветление производится на расстоянии 3 см от корней волос;
мажимеш позволяет окрасить волосы без использования вредных средств. Воск и кремовые краски создают на волосах коричневые, медовые оттенки и золотистые;
балаяж – это окрашивание только кончиков, путем нанесения и «стряхивания» краски для создания эффекта естественным образом выгоревших волос.

шатуш

мажимеш

балаяж

Технология двойного окрашивания в домашних условиях

Интересное окрашивание в два цвета можно выполнить дома, однако, следует принять во внимание сложность процедуры. Некоторые техники изменения цвета может производить только мастер в условиях салона.

Подготовительный этап

Для начала подготовьте:

краску;
фольгу;
расческу, которой удобно разделять пряди;
емкость для смешивания красок;
кисточки;
заколки;
одежду, которую не жалко испачкать;
полотенце.

Этап окрашивания

Прочитайте внимательно инструкции на тубе с краской, затем:

приготовьте состав;
выберите пряди, закрепите при помощи заколок;
фольгу разместите под локонами, нанесите краску, заверните;
двигайтесь аналогично от лба к затылку;
подождать необходимое время и воспользоваться шампунем для мытья;
использовать бальзам (маску).

После процедуры сушить голову желательно естественным образом.

Советы для двойного окрашивания

Несколько универсальных советов помогут вам определиться со способом окрашивания:

омбре подойдет волнистым и кудрявым волосам;
выбирайте более спокойные тона, если вы не хотите привлекать излишнего внимания и эпатировать окружающих;
мелирование хорошо сочетается со смуглой кожей и загаром;
макияшем позволит бережно произвести окрашивание;
3Д окрашивание отлично увеличивает объем волос, которые его лишены от природы.

омбре

омбре с темными кончиками

выделение отдельных прядей

белый и черный

розовые пряди

Окрашивание волос в два цвета всегда привлекает внимание окружающих. Особенно выигрышно смотрится колорирование, обмре, шатуш и другие виды окрашивания на светлых волосах. Надеемся, наш обзор будет вам полезен.

20 марта 2017 г. 16:26:59

Мелирование и колорирование: 2 эффективных способа покраски волос в два цвета

О мелировании слышала любая девушка, и каждая хотя бы раз задумывалась над тем, чтобы сделать его себе.

Окраска волос в 2 цвета придает оригинальности вашей прическе и внешнему виду

Это процедура, при которой делается двухцветное окрашивание волос, причем не всей шевелюры, а только отдельных прядей.

В результате получается покраска в два цвета. Подходят для девушек с любой шевелюрой: светлым, темным, рыжим.

Итак, как покрасить волосы в два цвета?

Мелирование традиционное: варианты

Производится окрашивание шевелюры по всей длине. Для обесцвечивания парикмахеры применяют тонирование, благодаря которому нивелируется разница между естественным цветом и искусственным.

Частичное окрашивание длинных волос

Красится только наружный слой, при этом внутренний остается прежним. Используется, когда есть желание создать контраст между темными и светлыми оттенками.

Обратное на каре

Хороший вариант для светлых шевелюр, когда хочется восстановить свой естественный, темный оттенок. Подходит в случаях, когда из постоянного мелирования шевелюра утратила первоначальный рисунок. Во время процедуры делается покраска в насыщенные, более темные оттенки.

Щадящее

Волосы делаются светлее на несколько тонов. Метод подходит для ломких, ослабленных шевелюр или когда не хочется делать ее чересчур светлой. Краска для такого мелирования не содержит аммиака, а в состав входят вещества для увлажнения.

Техника мелирования: американский вид и другие способы

Замечательный вариант для обладательниц длинной темной гривы. В результате должны получаться пряди, которые будто выгорели на солнце, что выглядит очень привлекательно. Окраска волос в два цвета производится с использованием фольги разных цветов. Выбирается несколько тонов, но общий мотив при этом остается одним. Противоположные по цветовой палитре оттенки выбираются реже.

Бывает два вида американской техники:

«Красная» — выбирается несколько тонов рыжего или красного, обычно используется для темноволосых девушек.
Калифорнийская — производится обесцвечивание без использования фольги. Процесс окрашивания должен выполняться на свежем воздухе, а корни не красятся. Смена тонов получается плавной. Может применяться на темных и светлых шевелюрах.

«Мажиконтраст» подойдет темным локонам

Применяется для темноволосых девушек. Замечательно будет выглядеть на любой длине, но не подойдет кудрявым особам. Для окрашивания используются насыщенные, стойкие мотивы. Получается яркий контраст между светлым и темным.

Контрастное окрашивание для русых, рыжих, блондинок

Обычно не делается для светловолосых девушек. Прическа становится более пышной, так как берутся пряди разной толщины, а для контраста используются похожие по оттенку светлые тона.

«Crazycolors» — окрашивание волос в два цвета для короткой стрижки

Используется молодыми барышнями, которые желают поэкспериментировать и хотят выделиться. Делается мелирование двумя цветами, тремя и более. Причем сначала производится обесцвечивание, а потом наносится краска.

Щадящее мелирование: балаяж

Здесь также различают несколько техник:

«Мажимеш». Замечательный вариант для светловолосых шевелюр. Выполняется покраска в мягкие тона (пшеничные, медовые и т. д.). Во время процедуры применяются составы с воском, без содержания аммиака.
«Балаяж». Метод актуален для темных шевелюр. Используется на неравномерных укладках, выполняется осветление кончиков (омбре) или отдельных участков — затылочной части, челки, висков (деграде). Чаще данную технику применяют девушки, которым нравятся нестандартные прически.
«Шатуш». Создаются светлые пряди, расположенные в случайном порядке. Выполняется на свежем воздухе, фольга обычно не применяется. Такое окрашивание в два цвета подходит для светловолосых и темно-русых особ.
Многотональные блики. Применяется для светлых и каштановых шевелюр. Волосы после мелирования как будто переливаются, выглядит красиво. Для создания переливов могут использоваться как холодные, так и теплые мотивы.
Брондирование. Существует множество разновидностей этой техники. Создаются пряди, по оттенку очень похожие на естественный оттенок. Для этого применяется краска с близкими по палитре тонами.

Колорирование: делаем черный с белым вместе

Различают колорирование двух типов:

Продольное — краска распределяется по всей длине;
Поперечное — выполняется постепенный переход от темных оттенков к светлым. Это непростой метод покраски, но эффект сохраняется дольше.

Разновидности колорирования:

Многоцветное — применяются оттенки разных цветов, подходит практически любым шевелюрам.
Перламутровое — применятся краски, которые на свету могут менять свой оттенок. Волосы как будто переливаются. Такая покраска волос в два цвета очень хорошо смотрится на светловолосых особах.
Неоновое — применяются кислотные решения, нетрадиционное их сочетание. Обычно выполняется окрашивание только нескольких прядей.
Калифорнийское — создается эффект выгоревших волос, когда корни темные, а к кончикам волосы становятся светлее.
Узорное — оригинальное двойное окрашивание волос, создается рисунок, причем это может быть любой узор. Применяется, когда хочется чего-то нестандартного. На темной шевелюре обычно выполняется светлый рисунок, а на светлой — темный.

Выбирайте свой способ окрашивания локонов

Полезные рекомендации

Техника окрашивания омбре больше подходит для кудрявых девушек или с небольшими завитушками;
Яркие мотивы больше подходят молодым барышням, тогда как у взрослой женщины они могут смотреться нелепо;
Брондирование — отличный вариант, результат получается и на прямых, и на кудрявых шевелюрах;
Мелирование хорошо подходит загорелым девушкам и тем, у кого от природы смуглый цвет кожи;
Мажимеш — самая щадящая техника окрашивания, поэтому ее рекомендуется выбирать, если вы делаете мелирование часто.

Узнав, как покрасить волосы двумя цветами, вы можете отправляться в парикмахерскую, поразив мастера знанием вариантов мелирования и колорирования.

как покрасить в два цвета со светлым и темным, половину головы на средние и короткие в домашних условиях

Когда девушка решает поменять свой имидж, то начинает она это делать именно с прически, причем с покраски. Сегодня обычное окрашивание отошло на второй план, ведь стилисты постоянно придумывают новые интересные идеи. В поисках оригинальных вариантов девушки все чаще обращают внимание на покраску с двумя цветами. Это позволяет освежить образ, сделать его оригинальным и стильным. Как покрасить волосы в два цвета? Давайте разбираться.

Как покрасить волосы в два цвета – проведение процедуры в домашних условиях

Если девушка решила воспользоваться техникой двойного окрашивания, то она сможет создать невероятный эффект прическе, если правильно подберет необходимый вариант покраса. Для этого требуется соблюдать некоторые правила по подбору техники двухтональной покраски шевелюры.

Первым делом стоит обозначить конкретную технику покраски прядей. Для этого предстоит обратить внимание на возраст. Если женщина среднего возраста, то ей стоит отказаться от ярких тонов, так как это придаст образу вызывающие очертания. Кроме этого, недопустимо использовать контрастные оттенки, так как они прибавляют возраст.

Двойной покрас дома – бронидирование и колорирование

Для женщин, у которых прямые или кудрявые волосы, подойдет брондирование. Эта техника прекрасно смотрится на дамах со светлыми кожными покровами, так как позволяет придать образу свежести. Также применяя брондирование, можно выгодно выделить скулы и структурировать лицо.

Как красить волосы в два тона – омбре

А вот использовать технику омбре необходимо тем дамам, у которых волнистая шевелюра. На прямых прядей такой вариант покраски будет выглядеть неаккуратно. Мелировку стоит выбрать красоткам с темными кожными покровами или загорелыми. Техника отлично оттеняет цвет лица. Но применять мелировку не стоит девушкам со светлой кожей.

На видео – покрасить волосы в два цвета:

Если у дамы тонкие волосы, то ей стоит воспользоваться покраской, при помощи которой можно зрительно создать объем. Придется отказаться от контрарных тонов. Придать объем лучше всего получается при использовании брондирования, шатуши и 3D окрашивания.

Когда у дамы структура волос плохая, и она не хочет ее травмировать, то отличным вариантом станет использование технологии мажимеш. Как правило, эта технология считается самой щадящей среди всех вариантов двухцветного окрашивания шевелюры.

А вот как используется краска syoss gloss sensation и как добиться максимального эффекта, подробно рассказывается в данной статье.
Какие пропорции окраски волос хной и басмой, поможет понять информация из статьи.
Насколько широка палитра профессиональной краски для волос Эстель, поможет понять информация из статьи: https://opricheske.com/uxod/okrashivanie/palitra-professionalnyx-krasok-dlya-volos.html

Насколько широка палитра краски для волос Капус и какова её цена, поможет понять информация из статьи.

Необходимо отметить, что покраска шевелюра в два оттенка является непростой технологией, которая требует определенных знаний и навыков. Несмотря на это, проводить ее моно в домашних условиях. Лучше всего первую покраску выполнять в салоне. Тогда можно будет внимательно ознакомиться с техникой ее создания, а уже потом проводить процедуру дома.

Когда девушка окончательно решила, что покраска будет происходить дома, то первым делом стоит купить качественную краску. Затем идет подготовка всех инструментов.

На видео- как покрасить короткие волосы в два цвета:

Для этого понадобиться:

фольга,
редкозубая расческа,
одежда,
краситель,
емкость для смешения красок,
две кисточки,
полотенце.

После этого предстоит воспользоваться следующей инструкцией:

Соединить состав краски согласно инструкции, которая указана на упаковке.
Пряди, которые должны быть обработаны краской, стоит закрепить зажимами. При этом ширина их должна быть не больше 0,5 см. В противном случае прическа получится не очень опрятной.
После этого подложить под выбранные пряди фольгу, нанести под нее краситель. Потом свернуть фольгу около волос. Аналогичным образом необходимо красить оставшиеся волосы.
Когда краситель был нанесен, то стоит выждать необходимое время, а затем удалить ее при помощи шампуня.
Чтобы защитить волосы от выпадения, необходимо применить специальную маску или шампунь. После мытья можно приступать к сушке феном.

Варианты покраски в парикмахерской

Если девушка решила выполнить покраску двумя цветами в салоне, то вначале она должна ознакомиться с возможными вариантами.

Окрашивание в разные цвета – методы выполнения красивого колорирования

Эта технология двухцветной покраски отличается тем, что разделяют прядки и обрабатывают красителем в несколько оттенков. Таким образом, удается получить плавные переходы или же выделить контраст. Колорирования является одним из самых распространенных направлений в парикмахерском искусстве. Как происходит колорирование волос на обесцвеченные волосы, подробно описано в данной статье.

Имеется несколько его вариантов:

Брондирование. Популярная разновидность колорирования. В воем названии она соединяет такие слова, как брюнет и блонд. Результатом процедуры становится природное сияние двух тонов с минимальным контрастом. А вот на фото в данной статье можно посмотреть виды окрашивания волос брондирование.
Омбре. Этот вид покраски носит название поперечное колорирование. Для него характерно получение природного эффекта отросших прядей за счет темных корней и осветленных кончиков. Граница цветов может быть плавной или резкой. Здесь все зависит от желаний девушки и руки специалиста. Как происходит окрашивание омбре на темные волосы и какие особенности данной процедуры, подробно описано здесь в статье.
3D окрашивание. Этот процесс двухцветной покраски по технике выполнения очень сложный. Необходимо получить объемную прическу при помощи нескольких оттенков одной гаммы. Применяют лишь темные или светлые тона. Какова технология 3 d окрашивание волос, подробно указано в данной статье.

Двухтональная окраска – мелирование

При помощи этой покраски можно получить эффект светлых волос. Ее суть состоит в том, что волосы выборочно обесцвечивают. Таким образом, удается получить эффект выгоревших волос. Кроме этого, мелирование может происходить с 3-4 оттенками светлого, в результате чего удается получить эффект природного блонда.

Мелирование может быть представлено в нескольких вариантах:

Мажимеш. Этот способ двутонного окрашивания считается самым безопасным. Для этого применяют краситель на кремовой основе, к которому добавляют воск. В составе продукта отсутствует пергидроль, а при покраске удается получить золотистые или медовые оттенки.
Балаяж. Для этой техники характерно соединение мелировки и колорирования. Пряди осветляют, а сама покраска происходит прямо на кончики. На фото – окрашивание волос в технике балаяж:
Шатуш. Для этой техники свойственна имитация природного выгорания с использованием осветления прядей. Несколько локонов окрашивают в случайном порядке, при этом отступая от пробора на 2-3 см. Чтобы переход был плавным, стоит выполнить начес. Порой специалисты подвергают покраске пряди в глубине укладки. Это позволит создать природный объем. Наиболее оригинально смотрится шатуш на короткий волос, но его вполне можно применять и на другую длину. А вот как выглядит на фото окрашивание шатуш на средние волосы, можно понять посмотре содержание данной статьи.

Сегодня двухцветное окрашивание волос стало очень востребованной процедурой. Связано это с тем, что, таким образом, удается получить новый и оригинальный образ. Подходит техника девушкам в разном возрасте и с любым типом волос. Главное, это точно определить вид покраски, чтобы он идеально сочетался с общим стилем дамы.

Теория графов

– Докажите, что каждая раскраска ребер $ K_ {17} $ в $ 3 $ цветов содержит одноцветный $ K_3 $.

Докажите, что каждая раскраска ребер $ K_ {17} $ с помощью $ 3 $ цветов содержит одноцветный $ K_3. $

Назовите цвета красным, белым и синим. Рассмотрим вершину $ v. $ Из $ 16 $ ребер, инцидентных $ v, $ есть не менее $ 6 $ одного цвета. Мы можем предположить, что существует $ 6 $ белых ребер, инцидентных $ v. $ Пусть $ G $ – подграф, индуцированный $ 6 $ вершинами, которые соединены с $ v $ белыми ребрами.Если $ G $ содержит белое ребро, получается белый треугольник. Если в $ G $ нет белых ребер, то $ G $ – это $ K_6 $, края которого окрашены в красный или синий цвет, поэтому он содержит одноцветный треугольник по уже известной вам теореме.

Докажите, что каждая раскраска ребер $ K_6 $ в $ 2 $ цветов содержит по крайней мере два одноцветных треугольника.

Назовите цвета красный и синий, а вершины назовите $ v_1, v_2, v_3, v_4, v_5, v_6. $ Пусть $ r_i $ – количество красных ребер, а $ b_i $ – количество синих ребер, инцидентных вершине $ v_i .66 = 18. $$ Учитывая, что всего сказано $ \ binom 63 = 20 $ треугольников, и не более $ 18 $ из них бихроматические, должно быть не менее $ 2 $ монохроматических треугольников.

П.С. Красно-синие окраски краев $ K_6 $ с ровно $ 2 $ монохроматических треугольников легко охарактеризовать. Это раскраски, в которых каждой вершине инцидентны два ребра одного цвета и три ребра другого цвета; то есть подграф, состоящий из синих ребер, имеет последовательность степеней $ (2,2,2,2,2,2) $ или $ (3,3,2,2,2,2) $ или $ (3,3 , 3,3,2,2) $ или $ (3,3,3,3,3,3).$

дискретной математики – определение того, какие графы являются побитовыми / 2-раскрашиваемыми, а какие нет

Есть очень полезная теорема, которую вы можете использовать здесь:

Теорема: (Простой) граф двудольный тогда и только тогда, когда он не содержит нечетных циклов.

Используя эту теорему, посмотрите, есть ли в любом из ваших примеров нечетные циклы (треугольники, шестиугольники, 7-угольники и т. Д.). Вы можете видеть треугольник в (c) и (e), и вы можете видеть шестиугольник в (g), так что они не двудольные.

Быстрая проверка покажет, что в остальных нет нечетных циклов, поэтому они должны быть двудольными.

Доказательство теоремы:

$ \ Rightarrow) $ Предположим, что $ G $ двудольный. Тогда существуют такие разбиения $ A $ и $ B $, что $ V (G) = A \ cup B $ с $ A \ cap B = \ emptyset $, и в одном разбиении нет ребер с обоими концами.

Предположим от противоречия, что – это нечетный цикл, скажем, $ (v_1, v_2, \ dots, v_k, v_1) $ с нечетным $ k $.Без ограничения общности пусть $ v_1 \ in A $. Тогда ясно, что для этого цикла $ v_n \ in A $, если $ n $ нечетное, и $ v_n \ in B $, если $ n $ четное. Но тогда, поскольку $ k $ нечетно, у нас есть ребро $ (v_k, v_1) $, которое является ребром между двумя вершинами, каждая из которых находится в $ A $, что противоречит нашему предположению о двудольности $ G $.

$ \ Leftarrow) $ Пусть в $ G $ нет нечетных циклов. Без ограничения общности предположим, что $ G $ связно (иначе проведем индукцию по количеству компонент связности). Выберите вершину $ v $. Затем разделите вершины на два множества $ A $ и $ B $, где $ A = \ {x \ in V (G) ~: ~ \ text {кратчайший путь от} ~ x ~ \ text {до} ~ v ~ \ text {четной длины} \} $ и $ B = \ {x \ in V (G) ~: ~ \ text {кратчайший путь от} ~ x ~ \ text {до} ~ v ~ \ text {имеет нечетная длина} \} $.Ясно, что по построению $ A \ cup B = V (G) $ и $ A \ cap B = \ emptyset $. Теперь мы хотим доказать, что не существует ребер между вершинами одного и того же разбиения.

Предположим от противоречия, что существует ребро между двумя вершинами в одном и том же разбиении, без ограничения общности ребро $ (a_1, a_2) $ с $ a_1, a_2 \ in A $. Тогда существует замкнутый путь нечетной длины $ (v, \ dots, a_1, a_2, \ dots, v) $. Однако замкнутые пути нечетной длины обязательно должны содержать нечетный цикл ($ \ star $), что противоречит тому, что $ G $ не содержит нечетных циклов.$ \ квадрат $

Доказательство того, что $ (\ star) $ оставлено читателю в качестве упражнения.

Подграфов раскраски с ограниченным количеством оттенков

Мы рассматриваем раскраски вершин, в которых количество цветов, присвоенных указанным подграфам, ограничено. В частности, учитывая некоторый фиксированный граф F и некоторый фиксированный набор A положительных целых чисел, мы рассматриваем (не обязательно правильные) раскраски вершин графа G таким образом, что для каждой копии F в G , количество получаемых цветов – A .Это, в частности, обобщает правильную окраску, дефектную окраску и окраску без радуги. В этой статье мы сосредоточимся на случае, когда A является одноэлементным набором. В частности, мы исследуем раскраски, когда граф F является звездой или 1-регулярным.

1 Введение

Рассмотрим (не обязательно правильную) раскраску вершин графа G . Для набора S вершин обозначим через c ( S ) количество цветов, используемых в наборе S .Пусть F будет некоторым фиксированным графиком и пусть A будет некоторым фиксированным подмножеством положительных целых чисел (разрешенные числа ). Мы рассматриваем раскраски G , где для каждой копии F в G номер c ( V ( F )) находится в наборе A . (Обратите внимание, что F не обязательно должен быть индуцированным подграфом.) Мы называем это раскраской с ограниченным количеством оттенков подграфа, или сокращенно RASH.Ниже мы будем называть это действительной раскраской.

Эта идея изучалась в других контекстах. Наиболее очевидно, что правильная окраска – это тот случай, когда F = K ₂ и A = {2}. После этого, вероятно, наиболее изучен случай раскраски вершин без создания какого-либо монохроматического подграфа, такого как звезда; их часто называют дефектными окрасками (см., например, [1–4]). Дефектная окраска соответствует окраске RASH, где A = {2,3,…, | F |} (где мы используем | F | для обозначения порядка F ).В последнее время, по крайней мере, в настройке графиков, появились работы по раскраске без радуги [5–7], которая соответствует раскраске RASH, где A = {1,2,…, | F | −1} и раскраски червя [8], которые соответствуют раскраске RASH, где A = {2,3,…, | F | -1}. Эти три типа раскраски уже были рассмотрены и обобщены для гиперграфов; см. [9, 10].

В этой статье мы сосредоточимся на случае, когда A является одноэлементным набором { a }.То есть мы рассматриваем раскраски, при которых каждая копия F получает ровно на цвета. И особенно мы исследуем случай, когда подграф F является звездой или 1-регулярным. Мы будем предполагать, что графы простые и не имеют изолятов.

2 Предварительные замечания

Главный вопрос – это наличие РАШ-раскрасок. Но другой вопрос – минимальное или максимальное количество цветов. Мы будем использовать следующие обозначения. Если есть раскраска графика G , где c ( V ( H )) ∈ A для всех подграфов H , изоморфных F , то допустим W ⁺ ( G , F , A ) обозначают максимальное количество цветов в такой раскраске и пусть W ^– ( G , F , A ) обозначают минимальное количество цветов в такая раскраска.(В гиперграфах это верхнее и нижнее хроматические числа соответственно.) Обратите внимание, что если G имеет допустимую раскраску, то также и любой подграф; таким образом, эти параметры монотонны.

Теперь, если A содержит целое число 1, то существование гарантируется и минимальное количество цветов в допустимой раскраске равно 1. Аналогично, если A содержит целое число | F |, то наличие гарантировано и максимальное количество цветов | G |.В частности, если A содержит как 1, так и | F |, все три вопроса тривиальны.

Это дает два особых случая раскраски RASH. Рассмотрим случай, когда A = {1}. Определите вспомогательный граф H _F ( G ) с тем же набором вершин, что и G , но с двумя смежными вершинами тогда и только тогда, когда они лежат в общей копии F . Например, H _{P ₃} ( G ) – это квадрат G , при условии, что G не имеет компонента порядка 2.Тогда в допустимой раскраске G две вершины G должны иметь один и тот же цвет тогда и только тогда, когда они находятся в одном компоненте вспомогательного графа H _F ( G ). Следует, что

W + (G, F, {1}) – количество компонентов HF (G).

Рассмотрим случай, когда A = {| F |}. Тогда в допустимой раскраске G две вершины G должны иметь разные цвета, если они смежны во вспомогательном графе H _F ( G ); если они не соседствуют в H _F ( G ), то они могут иметь одинаковый цвет или разные.Следует, что

W− (G, F, {| F |}) – хроматическое число HF (G).

Следующий результат очевиден. Это показывает, что если F подключен, то мы можем ограничить наше обсуждение связными графами G . (Однако, если F не подключен, ситуация более сложная.)

Наблюдение 2.1

Предположим, что F подключен, но G не . Тогда существование допустимой раскраски G равносильно существованию такой раскраски во всех ее компонентах G _i . Далее , значение W ^– ( G , F , A ) – максимальное из значений W ^– ( G _i , F , A ) по всем компонентам G _i ; и значение W ⁺ ( G , F , A ) – это сумма значений W ⁺ ( G _i , F , A ) по всем компонентам G _i .

Неудивительно, что эти параметры часто NP-сложно вычислить. Например, W ^– ( G , K ₂, {2}) – это просто обычное хроматическое число G , в то время как несколько результатов твердости для окраски WORM и без радуги были показаны на [5–8, 11].

3 звезды

В этом разделе мы сосредоточимся на случае, когда F является звездой. Начнем с того, что заметим, что все возможности для F = K _1,2 тривиальны или уже изучены.Затем мы приводим несколько общих результатов, после чего мы сосредотачиваемся на F = K _1,3 и F = K _1,4.

3.1 Звезда с двумя листьями

Для P ₃, звезды с двумя листьями, почти все случаи рассмотрены выше или были ранее изучены. Те, в которых разрешенный набор A не содержит ни 1, ни 3, являются:

A = {1}.Здесь минимальное количество цветов – 1. Максимальное количество – 2 для K ₂ и 1 для всех остальных связанных графиков.
A = {2}. Это цветовой номер ЧЕРВА (см., Например, [8]).
A = {3}. Максимальное количество цветов | G |. Минимальное количество цветов – 1 для K ₂, но для других связанных графов это хроматическое число квадрата G .
A = {1, 2}. Это раскраска без радуги (см., Например, [7]).
A = {2, 3}. Это эквивалентно 1-дефектной раскраске: каждая вершина имеет не более одного соседа своего цвета (см., Например, [1, 3]).

Ситуация для других подграфов F с 3 вершинами аналогична. Например, вспомогательный граф H _{K ₃} ( G ) равен G минус все ребра, не входящие в треугольник.

Вскоре мы рассмотрим другие маленькие звезды, но сначала некоторые общие результаты.

3,2 Произвольные звезды

В [8] было показано, что если граф имеет раскраску, в которой каждые P ₃ получают два цвета, то существует такая раскраска, в которой используются только два цвета. То есть, если он существует, W ^– ( G , P ₃, {2}) ≤ 2. Теперь этот результат не распространяется на большинство других F , таких как K ₃ (см. [11]).Но далее мы покажем, что это в некоторой степени обобщается на другие звезды.

Теорема 3.1

Если граф G имеет минимальную степень не менее f и имеет раскраску, при которой каждая копия K _{1, f} получает 2 цвета , , то G имеет такую раскраску, используя только два цвета .

Проба

Считайте допустимую окраску G . Пусть E _M будет набором монохроматических ребер; то есть те ребра, два конца которых имеют одинаковый цвет.Обратите внимание, что E _M не содержит копии K _{1, f}. Пусть H будет графиком G – E _M . Поскольку H не имеет однотонной кромки, он правильно окрашен.

Рассмотрим две вершины u и v в H с общим соседом w . Тогда, поскольку H правильно окрашен, ни u , ни v не имеют того же цвета, что и w .Поскольку w имеет степень не менее f в G , следовательно, u и v имеют одинаковый цвет. Отсюда следует, что каждый цикл C в H имеет одинаковую длину, так как он правильно окрашен и каждая пара вершин, разделенных двумя в C , имеет один и тот же цвет. Это означает, что H двудольный.

Отсюда следует, что мы можем (пере) раскрасить V ( H ) = V ( G ) так, чтобы H было правильно окрашено и использовать только два цвета.Теперь рассмотрим эту двухцветную окраску в G . Поскольку новая окраска является правильной окраской в H , каждая кромка, которая является монохроматической в этой новой окраске, должна быть в E _M . Но это означает, что не существует одноцветной копии K _{1, f}. То есть каждая копия K _{1, f} получает ровно два цвета. □

Непонятно, что произойдет, если отказаться от условия, что G имеет минимальную степень не менее f .

В качестве другого общего результата мы рассматриваем границы максимальной степени графов, которые имеют допустимую раскраску. Это равносильно тому, чтобы спросить, какие звезды имеют такую окраску.

Лемма 3.2

Для звезды F = K _{1, f} и A = { a } с 3 ≤ a ≤ f , максимальная степень на графике с допустимая окраска не более

(ф-1) (а-1) (а-2).

и это возможно для всех a и f .

Проба

Начиная с a < f +1, вершина v может иметь не более a – 1 новых цветов среди своих соседей. Скажем, v имеет c соседей своего цвета. Тогда сумма количества самых многочисленных a – 2 других цветов может быть не более f – 1 – c . Таким образом, общее количество соседей не превышает f – 1+ ( f – 1 – c ) / ( a – 2).Эта величина максимальна при c = 0, где она имеет указанное выше значение. И это достижимо, если использовать цвета и – 1 на соседях, разделенных между ними как можно поровну. □

В более общем плане можно сказать следующее:

Лемма 3.3

Для звезды F = K _{1, f}, , если разрешенный набор A не содержит ни одного из 1, 2 и f +1, , то максимальная степень на графиках G, которая иметь допустимые раскраски ограничено .

Проба

В качестве приблизительной верхней границы мы утверждаем, что G не может иметь вершину v градуса ( f – 1) f +1 или более. For, тогда либо v имеет f соседей одного цвета (дает копию K _{1, f} с c ≤ 2), либо v имеет соседей f разных цветов. каждый отличается от цвета v (что дает радужную копию K _{1, f}).□

Обратите внимание, что, напротив, если A содержит 1 или f +1, тогда каждый график имеет допустимую окраску. Кроме того, если A содержит 2, то существуют графы с произвольно большой степенью, которые имеют допустимую окраску, например, полный двудольный граф K _{m , m}.

3,3 Звезда с тремя листьями

Рассмотрим далее звезду K _1,3 с тремя листами. Есть шесть случаев, не охваченных общими результатами или описанными ранее раскрасками.Это два синглтона A = {2} и A = {3} и четыре пары A = {1,2}, A = {1,3}, A = { 2,4} и A = {3,4}.

3.3.1 Раскраски, где каждые

K _1,3 получают 2 цвета

Рассмотрим F = K _1,3 и A = {2}. Это эквивалентно раскраске, когда каждая вершина степени не менее 3 видит не более одного цвета, кроме себя, и имеет не более двух соседей своего цвета.

Мы рассматриваем первые семейства плоских графов. Несколько авторов (например, [1]) показали, что можно разбить множество вершин внешнепланарного графа на два леса максимальной степени 2. В частности, следует, что W ^– ( G , K _{1 , 3}, {2}) существует и не превосходит 2. Но для максимальных (внешних) плоских графов можно пойти немного дальше.

Теорема 3.4

Если G – максимальный внешнепланарный граф порядка не менее 4, , то он имеет допустимую окраску и W ^– ( G , K _1,3, {2}) = W ⁺ ( G , K _1,3, {2}) = 2.
Если G – максимальный планарный граф порядка не менее 4 и G имеет допустимую окраску , , то W ^– ( G , K _1,3, {2}) = W ⁺ ( G , K _1,3, {2}) = 2.

Проба

Выше мы видели, что такой граф имеет правильную раскраску. Поскольку G имеет максимальную степень не менее 3, нельзя использовать только один цвет.Осталось показать, что нельзя использовать более двух цветов.
Если G имеет порядок 4, это легко проверить; поэтому предположим, что порядок равен не менее 5. Мы знаем, что G имеет минимальную степень 2. Рассмотрим вершину и степени 2 с соседями v и w , обязательно смежными. Тогда хотя бы одна из этих вершин имеет степень не менее 4, скажем, v . Затем, по индукции, в каждой допустимой раскраске G – и используются ровно два цвета.Поскольку вершина v имеет степень не менее 3 в G – u , у нее должен быть сосед y (возможно, w ) другого цвета в G – u . Следовательно, u должны иметь цвет v или y . То есть G имеет всего два цвета.
Если G является гамильтоновым, то он содержит максимальный внешнепланарный граф в качестве остовного подграфа, и поэтому результат следует из части (a).Итак, предположим, что это не гамильтоново. Тогда он имеет возможность подключения не более 3, и поэтому имеется разрезанный треугольник T . Пусть G ₁ будет графом, сформированным из G путем удаления вершин внутри T ; пусть G ₂ будет графом, образованным удалением вершин за пределами T . По индукции, допустимая окраска G при ограничении G ₁ использует только два цвета, и аналогично при ограничении G ₂.Пусть v – вершина треугольника. Тогда, поскольку G ₁ и G ₂ оба имеют минимальную степень не менее 3, вершина v должна видеть оба цвета в G ₁ и оба цвета в G ₂ . Поскольку v может видеть не более двух цветов, из этого следует, что G ₁ и G ₂ используют одну и ту же пару цветов. То есть G имеет всего два цвета.□

Для другого семейства графов рассмотрим кубические графы. Такие графы всегда имеют правильную раскраску, поскольку они имеют раскраску в два цвета, где каждая вершина имеет не более одного соседа своего цвета (a1-дефектная 2-раскраска [12]). Было бы интересно определить максимальное количество цветов в такой раскраске:

Задача 3.5

Каково максимально возможное количество цветов в раскраске связного кубического графа порядка n, где каждый K _1,3 получает ровно 2 цвета?

Обратите внимание, что для обычных графиков случай F = K _{1, f} и A = { f – 1} также соответствует тому, что мы назвали около – инъективной окраски. ; см. [13].

3.3.2 Раскраски, где каждые

K _1,3 получают 3 цвета

Рассмотрим F = K _1,3 и A = {3}. По лемме 3.2 максимальная степень графа G с допустимой раскраской не превосходит 4. Итак, одним естественным семейством, которое следует рассмотреть, является множество 4-регулярных графов. Обратите внимание, что допустимая раскраска должна быть правильной, и каждая вершина должна иметь двух соседей одного цвета и двух соседей другого цвета. Отсюда следует, что если всего используется только три цвета, каждый цвет должен использоваться равное количество раз, и, в частности, порядок G кратен 3.Однако есть и другие заказы, для которых существует такая раскраска. Например, рассмотрим прямое произведение цикла C _n на 2 K ₁; то есть продублируйте каждую вершину цикла так, чтобы получился 4-регулярный граф с 2 n вершинами. Затем правильная раскраска достигается за счет использования n разных цветов, что дает каждой паре одинаковых вершин один и тот же цвет.

Еще одно интересное семейство – это кубические графы.Компьютерный поиск показывает, что все маленькие кубические графы имеют такую раскраску. А что вообще? Мы предполагаем, что да.

Гипотеза 3,6

Каждый кубический граф имеет раскраску, где каждый K _1,3 получает 3 цвета .

Если кубический граф G имеет соответствие M , ни одно из ребер которого не находится в треугольнике, то можно получить допустимую раскраску, присвоив каждому ребру другой цвет в M (и, таким образом, каждая вершина имеет соседа его цвет, но никаких других повторов).Действительно, компьютерный поиск показывает, что максимальное количество цветов в допустимой раскраске всегда составляет не менее n /2. Если это правда, это будет усилением гипотезы из [7] о том, что каждый кубический граф имеет раскраску не менее чем в n /2 цветов без радужной копии K _1,3. Напротив, есть кубические графы, которым требуется более 3 цветов, поскольку каждый цветовой класс в такой раскраске будет доминирующим множеством, и существует бесконечно много кубических графов порядка n с числом доминирования более n /3 (см. e.грамм. [14]).

3.3.3 Другие ограничения для

K _1,3

В каждом из оставшихся случаев (где A – даблтон) раскраска гарантированно существует, поскольку A содержит либо 1, либо 4. Но обратите внимание, что эти ситуации отличаются от связанных синглтонов. Например, пусть F = K _1,3. Пусть G будет графиком, имеющим допустимую окраску для A = {3}, а H будет графиком, который этого не делает.Тогда их непересекающийся союз будет иметь W ⁺ ( G ∪ H , K _1,3, {1,3}) ≥ 4.

3,4 Звезда с четырьмя листьями

Наконец, в этом разделе мы кратко рассмотрим звезду K _1,4 с разрешенным набором A синглтон.

Рассмотрим случай, когда A = {4}. По лемме 3.2 выше максимальная степень не превосходит 4. Ясно, что вершины со степенью меньше 4 не накладывают ограничений как центры звезд.Итак, естественный класс для рассмотрения – это 4-регулярные графы. Пусть K _2,2,2 обозначает 4-регулярный граф порядка 6. Компьютерный поиск показывает, что все 4-регулярные графы до порядка 12 имеют такую раскраску, за исключением K _2,2,2. . Возникает вопрос:

Задача 3,7

Имеет ли каждый подключенный 4- обычный график , , кроме K _2,2,2, , имеет ли цвет, при котором каждый K _1,4 получает ровно 4 цветов?

Рассмотрим случай, когда A = {3}.По лемме 3.2 выше максимальная степень может достигать 6. Неверно, что каждый 6-регулярный граф имеет правильную раскраску; например, по порядку 11 только полный многораздельный граф K _3,3,3 имеет один. Также неверно, что каждый 5-регулярный граф имеет правильную раскраску; например, только 3459 из 7848 5-регулярных графов 12-го порядка имеют один. Но компьютерный поиск показывает, что все 4-регулярные графы до порядка 12 имеют правильную окраску. Возникает вопрос:

Проблема 3.8

Имеет ли каждый 4- обычный график раскраску, где каждый K _1,4 получает ровно 3 цветов?

4 полосы

В этом разделе мы рассматриваем раскраски, у которых F 1-регулярная. Начнем с изучения случая, когда F = 2 K ₂.

4.1 Раскраски, где каждые 2

K ₂ получают 2 цвета

Обозначим через 𝓜 множество графов, не содержащих двух непересекающихся ребер.То есть 𝓜 – это множество всех звезд и K ₃ вместе с изолятами.

Теорема 4.1

График G имеет раскраску, где каждые 2 K ₂ получает 2 цвета тогда и только тогда, когда

V ( G ) имеет двудольность ( R , S ) , так что R и S оба индуцируют графики 𝓜, или
G – непересекающееся объединение звезд, а K ₃ ’ s .

Проба

Сначала заметим, что такой граф имеет нужную раскраску. В случае (i) покрасьте каждую вершину в R в красный цвет, а каждую вершину в S – в сапфир. Тогда, поскольку нет одноцветного 2 K ₂, каждая копия 2 K ₂ получает оба цвета. В случае (ii) раскрасьте каждый компонент монохромно в другой цвет.

Предположим теперь, что график G имеет правильную раскраску.Если каждое ребро монохроматично, то график представляет собой несвязное объединение звезд и K ₃ ’s, с каждым компонентом монохроматическим, и мы находимся в случае (ii) характеристики.

Итак, предположим, что есть правильный край, скажем, rs с r красным и s сапфировым. Предположим, есть другой цвет; скажем, вершина t серо-коричневая. Затем все кромки из т должны перейти к { r , s }. Если t имеет степень 2, то { r , s , t } представляет собой изолированный треугольник; да и вообще никакой другой край невозможен.Итак, предположим, что t имеет степень 1; скажем с соседом s . Аналогичным образом, вершина r также имеет степень 1. Действительно, любая вершина x , которая не является сапфиром, должна иметь степень 1 с s в качестве ее единственного соседа. Тогда, если мы изменим все не сапфировые вершины на красные, у нас все равно будет правильная окраска.

То есть можно считать, что в раскраске используются только два цвета. Отсюда следует, что мы находимся в случае (i) характеристики. □

Несложно утверждать, что можно распознать такие графы за полиномиальное время и вычислить минимальное и максимальное количество используемых цветов.Для грубого алгоритма просто рассмотрите все возможные звезды и треугольники и проверьте, является ли то, что остается после удаления их краев, двудольным. В случае (ii) с двумя или более компонентами количество используемых цветов равно количеству компонентов. В случае (i) минимальное количество используемых цветов не превышает 2, как мы утверждали в приведенном выше доказательстве; мы можем использовать более двух цветов только в том случае, если существует вершина s с несколькими соседними листами, а остальная часть графа имеет подходящую структуру.Подробности опускаем.

4.2 Раскраски, где каждые 2

K ₂ получают 3 цвета

Далее рассмотрим случай, когда каждые 2 K ₂ имеют 3 цвета. Как и в предыдущем результате, характеристика состоит в том, что граф G должен быть «почти двудольным».

Определите следующие графики и классы графиков. Пусть 𝓗 ₁ будет набором графов, которые содержат две смежные вершины x и y , так что каждое второе ребро инцидентно x или y .Пусть 𝓗 ₂ – это графы, которые содержат треугольник x , y , z , так что каждая вторая вершина является листом с соседом в { x , y , z }.

Пусть F ₁ будет графом, который получается из непересекающегося объединения K ₄ и K ₂ путем определения вершины каждого из них. Пусть F ₂ будет графом, который получается из K ₄– e путем выбора вершины x степени 3 и вершины y степени 2 и добавления листа, смежного только с x и только один до y .Пусть F ₃ будет графом, который получен из непересекающегося объединения K ₄ – e и P ₃ путем определения вершины минимальной степени каждого. Пусть F ₄ будет графиком, полученным из P ₆: v ₁, v ₂,…, v ₆ добавлением ребра v ₃ v ₅.Мы рисуем их на Рисунке 1.

Рис.1

Раскрашивание графиков так, чтобы каждые 2 K ₂ получали 3 цвета

Для графа G мы определяем сокращенную версию G , рассматривая каждую вершину по очереди и, если у нее более одного листового соседа, отбрасывая всех, кроме одного из этих соседей. Непосредственно граф имеет правильную раскраску тогда и только тогда, когда его сокращенная версия имеет, потому что мы можем предполагать, что все листья в вершине одного цвета.

Теорема 4.2

График G имеет раскраску, где каждые 2 K ₂ получает 3 цвета тогда и только тогда, когда

G формируется из непересекающегося объединения двудольного графа H и K ₃ путем идентификации одной вершины каждого ;
G – несвязное объединение графов H и M, где H ∈ 𝓗 ₁ ∪ 𝓗 ₂ и M ∈ 𝓜 (семейство графов с совпадающим номером 1 ) ; или
сокращенная версия G – это F ₁, F ₂, F ₃, или F ₄, или его подграф .

Проба

Каждый из этих графиков имеет правильную раскраску. В случае (i) покрасьте все вершины в одном частном множестве в красный цвет и дайте всем остальным вершинам уникальный цвет. В случае (ii) пусть x будет идентифицированной вершиной. Раскрасьте его и все остальные вершины в его раздельном наборе H в красный цвет, покрасьте двух его соседей в сапфир K ₃, а затем дайте всем остальным вершинам уникальный цвет. В случае (iii) раскрасьте подграф H , как показано на рисунке выше, и раскрасьте подграф M монохромно цветом 4.В случае (iv) раскрасьте графики тремя цветами, как показано на рисунке выше.

Перейдем к доказательству того, что это все графики. Итак, предположим, что G имеет допустимую окраску.

Претензия 4.3

График G не может иметь нечетного цикла длины 5 или более .

Проба

Сначала мы утверждаем, что не может быть двух последовательных вершин одного цвета. Рассмотрим часть цикла abcdef (где, возможно, a = f ), где c и d имеют одинаковый цвет, скажем 1.Затем, рассматривая пару bc , de , без ограничения общности b имеет цвет 2, а e имеет цвет 3. Рассматривая пару cd , ef , вершина f должна имеют цвет, отличный от 1 и 3. Из рассмотрения пары bc , ef следует, что вершина f имеет цвет 2. По аналогичному аргументу, a имеет цвет 3 (и, в частности, a ≠ f ). Но тогда пара ab , ef является противоречием.

Теперь предположим, что на расстоянии три есть вершины одного цвета. Рассмотрим часть цикла abcdef (где, возможно, a = f ), где b и e имеют одинаковый цвет, скажем 1. Затем, рассматривая bc , de , без потери общности c имеет цвет 2, а d имеет цвет 3. Принимая во внимание пару cd , ef , вершина f должна иметь цвет из {1, 2, 3}.Из-за отсутствия серий одного цвета f не может быть цветом 1; учитывая пару bc , ef , вершина f не может быть цветом 2. Следовательно, f имеет цвет 3. Точно так же вершина a имеет цвет 2. В частности, a ≠ f , и так есть еще одна вершина рядом с f , скажем g . Тогда, рассматривая пару bc , fg , вершина g должна иметь цвет из {1, 2, 3}.Но легко проверить, что каждый выбор приводит к противоречию.

Итак, мы показали, что не может быть двух последовательных вершин одного цвета или двух вершин на расстоянии три. Теперь снова рассмотрим часть цикла abcdef (где, возможно, a = f ). На расстоянии два в пределах abcd должен быть повторяющийся цвет. Скажем, a и c имеют цвет 1, с b цвета 2 и d цвета 3.Затем рассмотрим пару bc , de . Поскольку вершины b и d имеют разные цвета, должно быть, чтобы вершины c и e имели одинаковый цвет. Тогда f должен иметь цвет, отличный от c , d и e . Кроме того, он не может иметь тот же цвет, что и b , по паре ab , ef . Из повторного применения этого следует, что каждая альтернативная вершина в цикле имеет цвет 1.В частности цикл имеет четную длину. □

Если граф G двудольный, все готово. Итак, предположим, что существует треугольник T .

Претензия 4.4

Если T правильно раскрашен как , , тогда мы находимся в случае (iii) или имеем сокращенный график F ₁ или F ₂.

Проба

Скажем, треугольник T имеет вершину a цвета 1, вершину b цвета 2 и вершину c цвета 3.Предположим, что присутствует другой цвет, скажем, вершина d имеет 4. Затем рассмотрим ребро, инцидентное с d . Если он переходит в треугольник T , мы получаем противоречие. Скажем, это de . Рассматривая пары, образованные на и каждую кромку T , следует, что и не могут иметь новый цвет, а также не могут иметь цвет из {1, 2, 3}. Таким образом, e имеет цвет 4. То есть ребра, инцидентные вершинам, не окрашенным из {1, 2, 3}, окрашены в монохромный цвет; и действительно должен индуцировать компонент из 𝓜, окрашенный в 4.

Итак, рассмотрим вершины с цветом из {1, 2, 3}. У нас не может быть ребра, не пересекающегося с треугольником, так как, если оно одноцветное, его можно соединить с ребром T , которое включает этот цвет, и, если это правильно, можно соединить его с ребром T , которое имеет идентичный цвет. Таким образом, все такие ребра имеют (по крайней мере) один конец в треугольнике. Если компонент, содержащий T , находится в 𝓗 ₁, то все готово. Итак, предположим, что компонент, содержащий T , отсутствует в 𝓗 ₁.То есть каждая вершина T имеет соседа вне треугольника. Рассмотрите возможности.

Одна из возможностей состоит в том, что три вершины T имеют общего соседа v . Согласно вышесказанному, v должны иметь один из своих цветов, скажем 1. Если не только K ₄, есть еще одна вершина, скажем w . Эта вершина не может быть инцидентной ни с a , ни с v , так сказать, инцидентной с вершиной c .Тогда w должен быть цвета 2 и должен быть листом. Можно проверить, что все оставшиеся ребра должны совпадать с c . Кроме того, монохроматическая кромка va означает отсутствие монохроматической кромки цвета 4. То есть уменьшенная версия G – это F ₁ или K ₄.

Вторая возможность состоит в том, что a , b имеют общего соседа v , а c имеют соседа w .Предположим, что w имеет цвет 3. Затем, рассматривая пару va , cw , следует, что v должен быть цветом 2, но тогда пара vb , cw окрашена неверно. Таким образом, вершина w имеет, скажем, цвет 1. Рассматривая пару va , cw , следует, что вершина v имеет цвет 2. Любой другой сосед x из a должен иметь цвет 2 из-за ax , cw , но не цвет 2 из-за vb , ax , поэтому a не имеет другого соседа.Любой другой сосед y из b должен иметь цвет 3 из-за пары av , на . И любой другой сосед z из c должен иметь цвет 1 из-за пары bv , cz . Кроме того, монохроматический край vb означает отсутствие монохроматического края цвета 4. То есть уменьшенная версия G – это F ₂ или F ₂ с одним или обоими из оставляет удаленным.

Третья возможность состоит в том, что a , b и c имеют только отдельные соседи за пределами треугольника. То есть компонент, содержащий T , находится в ₂. □

Итак, мы можем предположить, что не существует правильно раскрашенного треугольника T .

Претензия 4.5

Если треугольник T содержит два цвета , , то мы находимся в случае (ii) или имеем сокращенный график F ₃ или F ₄.

Проба

Скажем, T имеет две вершины цвета 1, скажем a и b , а оставшаяся вершина c имеет цвет 2. Из-за условий и отсутствия правильно раскрашенных треугольников нет другого общего соседа a и c , а также b и c .

Сначала предположим, что нет ребра, не пересекающегося с T . Тогда компонент, содержащий T , находится в 𝓗 ₂, и мы находимся в случае (iii) (с M равным нулю), если только a и b не имеют другого общего соседа, скажем d .Вершина d должна иметь другой цвет, скажем 3. Тогда компонент, содержащий T , находится в 𝓗 ₁ (хотя и с альтернативной окраской), если c не имеет другого соседа, скажем e . Вершина e должна иметь цвет 3. Тогда ни a , ни b не могут иметь других соседей, и мы в случае F ₂ минус лист, инцидентный вершине степени 4.

Итак, предположим, что второе ребро ds не пересекается с T .Так как его можно связать с ab , край ds должен быть правильно окрашен, и ни один конец не имеет цвета 1. Поскольку его можно связать с ac , один конец должен иметь цвет 2. Кроме того, нет изолированной вершины w из G – T может иметь цвет 1 или 2, поскольку V ( T ) ∪ { w } содержит 2 K ₂. В частности, G – T является двудольным с двудольным ( D , S ), где d и каждая другая вершина в D имеет цвет 2, а s и все остальные вершины в S имеет цвет, отличный от {1, 2}.

Обратите внимание, что ни один из { a , b , c } не может иметь соседа в D . Следовательно, если ни a , ни b не имеют соседа в S , то мы находимся в случае (ii). Итак, предположим, что у одного из них, скажем, a , есть сосед e в S , скажем, цвета 3. Обратите внимание, что, возможно, e = s .

Затем рассмотрим любую вершину v , кроме { a , b , c , d , e }.Предположим, что его цвет отсутствует в {1, 2, 3}. Из потенциального спаривания с ae или ac следует, что все соседи v имеют цвет 1 (так, в частности, v ≠ s ), и тогда возникает противоречие от спаривания с ds . То есть все вершины, кроме a , b , имеют цвета из {2, 3}.

Отсюда следует, что нетривиальный компонент в G – { a , b } является звездой.Теперь обратите внимание, что если и b , и c имеют степень 2, мы находимся в случае (ii) теоремы. Таким образом, либо b соседствует с d , либо c находится рядом с s . В первом случае мы получаем сокращенный график F ₃ или, возможно, с удаленным краем, так что это всего лишь K ₄– e ∪ K ₂ (в этом случае G равно покрывается случаем (iii)). Во втором случае получаем F ₄.И можно проверить, что все оставшиеся вершины являются клонами существующих листьев. □

Наконец, предположим, что все треугольники одноцветные. Тогда может быть только один. Действительно, это должна быть изолированная компонента, тогда как остальная часть графа двудольна, так что мы имеем дело с случаем (iii).

Это завершает доказательство теоремы. □

4.3 Общие звезды

Рассмотрим раскраски, где каждая копия fK ₂ имеет a цветов.

Начнем со случая, когда a = 2.Теорема 4.1 показала, что если G подключено и существует допустимая раскраска, то W ^– ( G , 2 K ₂, {2}) ≤ 2. (Нам действительно нужна связность, поскольку несвязное объединение копий K ₃ имеет правильную раскраску, но каждый треугольник должен иметь разный цвет.) Аналог теоремы 4.1 для большего количества ребер оказывается более простым.

Теорема 4.6

Пусть f > 2. Граф G имеет раскраску, где каждый fK ₂ получает два цвета тогда и только тогда, когда G имеет двудольность ( R , S ) , так что и R, и S индуцирует подграфы с числом совпадений меньше f .

Проба

Если G имеет такое разделение, то эта раскраска является допустимой. Итак, рассмотрим график G , имеющий правильную раскраску. В частности, рассмотрим допустимую раскраску G , в которой используется наименьшее общее количество цветов, и предположим, что всего больше двух.

Тогда G имеет вершины трех цветов, скажем цветов 1, 2 и 3. Рассмотрите возможность перекрашивания каждой вершины цвета 2 в цвет 1. Это не может увеличить количество цветов в любой копии fK ₂, но по минимальности эта раскраска недействительна.Это означает, что в G должна быть копия F ₁₂ из fK ₂ с цветами 1 и 2.

Рассмотрим вершину v цвета 3 с соседом w , скажем. Если w не пересекается с F ₁₂, тогда мы можем взять vw , край F ₁₂, содержащий цвет 1, и край F ₁₂, содержащий цвет 2 и f – еще 3 кромки F ₁₂, и поэтому получаем плохой fK ₂.Итак, w должен находиться в F ₁₂. В частности, нет края, где оба конца имеют цвет 3.

По аналогичной логике не бывает одноцветной кромки любого цвета. Но это означает, что каждый край F ₁₂ правильно окрашен. Итак, vw и f – 1 непересекающиеся кромки F ₁₂ дают плохой fK ₂, противоречие. Таким образом, G имеет допустимую окраску с использованием всего двух цветов.□

Мы закончим некоторыми комментариями по поводу общего случая.

Теорема 4.7

Рассмотрим раскраски, где каждый fK ₂ имеет цвета . Можно раскрасить mK ₂ для всех m тогда и только тогда, когда ∈ {1, 2, f , f + 1, 2 f }.

Проба

Раскраски следующие. Для a = 1 задает всем вершинам одинаковый цвет; для a = 2 правильно покрасьте каждый край красным и сапфировым; для a = f раскрасьте все края монохромно, но разными цветами; для a = f +1 правильно окрасить все края, причем один конец должен быть красным, а другой – уникальным цветом; а для a = 2 f дайте всем вершинам разные цвета.

Теперь рассмотрим раскраску mK ₂ для m large. Можно получить сколь угодно большой набор ребер, при котором либо все ребра одноцветны, либо все правильно окрашены. В первом случае мы можем найти большую коллекцию ребер, которые либо одного цвета, либо все разных цветов. Таким образом, чтобы раскраска была действительной, нам нужно a ∈ {1, f }.

Итак, предположим, что все края в коллекции правильно окрашены.Опять же, мы можем найти большую коллекцию, в которой либо все имеют одинаковый образец, либо все имеют разные образцы. В первом случае следует, что a = 2. Предположим, что второй случай. Затем мы можем найти большую коллекцию, в которой каждое ребро e _i имеет (по крайней мере, один) конец цвета i . С другой стороны, мы можем снова предположить, что все они одного или разных цветов. В первом случае нам нужно a = f +1. В последнем случае мы можем снова обрезать так, чтобы каждый цвет появлялся только на одном крае, и поэтому a = 2 f .□

Мы видели в доказательстве теоремы 4.2, что 5-цикл не имеет раскраски, где каждые 2 K 2 получают три цвета.

Это можно обобщить.

Лемма 4.8

Рассмотрим раскраски, где каждый fK ₂ имеет цвета . Можно раскрасить все нечетные циклы тогда и только тогда, когда ∈ {1, 2, 2 f }. Можно раскрасить все четные циклы тогда и только тогда, когда ∈ {1, 2, f +1, 2 f }.

Проба

Результат очевиден для a = 1 и a = 2 f (раскрасьте все вершины одинаково или все по-разному). Чтобы сделать a = 2 (при условии, что f > 1), раскрасьте все альтернативные вершины красным и сапфировым, за исключением того, что, возможно, одна пара соседних вершин получит один и тот же цвет. Чтобы выполнить a = f (при условии, что f > 2) в большом цикле, каждое ребро должно иметь разную монохроматическую окраску, что невозможно.Чтобы выполнить a = f +1 (при условии, что f > 1) в большом цикле, каждый край должен иметь одинаковый цветовой узор, но быть правильно окрашенным. Таким образом, длина цикла должна быть одинаковой. □

Например, для F = 3 K ₂ приведенная выше лемма показывает, что длина цикла ограничена для раскрасок, где a ∈ {3, 5}. Если каждые 3 K ₂ получают три цвета, то самый длинный цикл, который можно раскрашивать, – это 10-цикл: покрасить в красный цвет вершину v и две вершины на расстоянии два от нее, окрасить сапфиром вершину v ′ напротив. v и две вершины на расстоянии два от него, а остальные вершины покрасьте в серо-коричневый цвет.Если каждые 3 K ₂ получают пять цветов, то единственный цикл длиной более 6, который можно раскрасить, – это 8-цикл: покрасить в красный цвет вершину u и вершину u ′ напротив u , закрасьте сапфиром две вершины, смежные ни с и , ни с и ′, а оставшимся вершинам придайте уникальный цвет. Также можно показать, что длина цикла ограничена, даже если A = {3, 5}.

5 Заключение

Мы предложили раскраски RASH, где каждая копия указанного графа F имеет ограничение на количество получаемых цветов.Мы сосредоточились на случае, когда F является звездочкой или 1-регулярным. Было бы интересно изучить раскраски RASH, где ограниченный подграф представляет собой путь или цикл. Другое направление подсказывает случай F = K _{1, r} и A = { r } в r -регулярных графах. Это раскраски, в которых каждая замкнутая окрестность имеет ровно один повторяющийся цвет; см. [13].

Список литературы

[1] Михок П., О числе вершинных разбиений графов, В Графах и других комбинаторных темах (Прага, 1982) , том 59 из Teubner-Texte Math ., Страницы 183–188. 1983 Поиск в Google Scholar

[2] Боровецкий М., Броэр И., Фрик М., Михок П., Семанишин Г., Обзор наследственных свойств графов, Обсудить. Математика. Теория графов, 17 (1997), 5–50 Поиск в Google Scholar

[3] Коуэн Л., Годдард В., Йезурум К., Повторное обращение к дефектной окраске, J. Graph Theory, 24 (1997), 205–219. Поиск в Google Scholar

[4] Алон Н., Динг Г., Опоровски Б., Вертиган Д., Разбиение на графы с небольшими компонентами, J. Combin. Теория Сер. B, 87 (2003), 231–243 Искать в Google Scholar

[5] Буйтас К., Сампаткумар Э., Туза З., Субраманья М., Доминик К., 3-х последовательные C -раскраски графов, Обсудить. Математика. Теория графов, 30 (2010), 393–405. Поиск в Google Scholar

[6] Bujtás C., Sampathkumar E., Tuza Z., Dominic C., Pushpalatha L., Раскраска вершин без больших полихроматических звезд, Дискретная математика., 312 (2012), 2102–2108 Поиск в Google Scholar

[7] Годдард В., Сюй Х., Раскраски вершин без подграфов радуги, Обсудить. Математика. Теория графов, 36 (2016), 989–1005. Поиск в Google Scholar

[8] Годдард В., Уош К., Сюй Х., Раскраски червей, Обсудить. Математика. Теория графов, 35 (2015), 571–584. Поиск в Google Scholar

[9] Волошин В., О верхнем хроматическом числе гиперграфа, Australasian J. Comb., 11 (1995), 25–45 Поиск в Google Scholar

[10] Туза З., Волошин В., Проблемы и результаты по раскраске смешанных гиперграфов, В Горизонтах комбинаторики , том 17 из Bolyai Soc. Математика. Stud ., Страницы 235–255. 2008 Поиск в Google Scholar

[11] Bujtás C., Tuza Z., K ₃ -червячные раскраски графиков: Меньшее хроматическое число и пробелы в хроматическом спектре, Обсудить. Математика. Теория графов, 36 (2016), 759–772. Поиск в Google Scholar

[12] Ловас Л., О декомпозиции графов, Studia Sci.Математика. Hungar., 1 (1966), 237–238 Искать в Google Scholar

[13] Годдард В., Мелвилл Р., Сюй Х., Почти инъективные раскраски, Появиться в Обсудить. Математика. Поиск теории графов в Google Scholar

[14] Косточка А., Стодольский Б., О доминировании в связных кубических графах, Дискретная математика, 304 (2005), 45–50 Искать в Google Scholar

Получено: 2016-9-2

Принято: 2017-8-17

Опубликовано онлайн: 2017-9-22

Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 3.0 Лицензия.

Столбец с характеристиками из AMS

Красочная математика: Часть I

3. Раскраска граней

Идея раскраски граней карты состоит в том, чтобы присвоить каждой грани графа цвет таким образом, чтобы две грани, имеющие общее ребро, должны были получить разные цвета. Грани, которые встречаются только в вершине, могут быть окрашены в один цвет. Помимо общих раскрасок карты, математиков интересуют раскраски, в которых используется минимальное количество цветов.Хроматический номер (лицо) карты – это наименьшее количество цветов, которое можно использовать для раскрашивания карты в соответствии с нашим правилом, согласно которому грани с общим краем имеют разные цвета. Карта ниже раскрашена в 4 цвета. Обратите внимание, что красный цвет красного прямоугольника следует рассматривать как уходящий в бесконечность. Будет показана и раскрашена только небольшая часть бесконечного лица.

Хотя карта выше была раскрашена в 4 цвета, это не цветовой номер лица для этой карты.Вы должны показать, что эту карту также можно раскрасить в 3 цвета и даже в 2 цвета. Можете ли вы сделать предположение о том, когда карта на плоскости имеет хроматическое число 2?

Карта ниже раскрашена в три цвета, но не может быть раскрашена в два цвета.

Таким образом, хроматическое число лица на карте выше 3. Можете ли вы найти карту на плоскости, хроматическое число которой равно 4? Сможете ли вы найти на плоскости бесконечное семейство карт, хроматическое число граней которых равно 4?

Чтобы добиться прогресса в решении четырехцветной проблемы, в рассматриваемый вопрос были внесены некоторые «упрощения».Примером такого упрощения является работа с картами плоскостей с хорошими свойствами, а не с «любой старой» картой плоскостей. Например, нетрудно «свести» общий вопрос раскраски граней плоских карт четырьмя или меньшим количеством цветов к задаче раскраски граней трехвалентной плоской карты четырьмя или меньшим количеством цветов следующим образом. Предположим, G – граф, нарисованный на плоскости, для которого каждая вершина имеет валентность не менее 3. Такой граф показан на диаграмме ниже:

Теперь мы можем заменить вершину валентности i на этой диаграмме гранью с i сторонами, ограниченными 3-валентными вершинами, как показано на диаграмме ниже:

Эта конструкция приводит к новому плоскому графу, который является 3-валентным.Если можно четырехкратно раскрасить грани этого графа, то можно четырехкратно раскрасить грани исходного графа, сжав грани, показанные черным, до одной вершины. Помните, что грани, которые касаются вершины после процесса сжатия, но не имеют общих ребер, могут быть окрашены в один цвет.

Некоторые плоские графы имеют вершины валентности 1 или валентности 2. Можно также преобразовать такие графы в новые, где вершины валентности 1 и 2 удалены (это делается путем создания граней с одной или двумя сторонами), и где новые «граф» (строго говоря, мультиграф) плоский и имеет только 3-валентные вершины.Опять же, исходный график можно раскрасить четырьмя или меньшим количеством цветов, когда это возможно. Таким образом, мы можем свести проблему раскраски плоских графов в четыре или меньше цветов к задаче раскраски плоских 3-валентных графов в четыре или меньше цветов. Математики были обучены преобразовывать сложные среды в новые, более простые или более структурированные. Есть надежда, что удастся добиться прогресса, «разобравшись» с проблемой, тем самым решив ее после преобразования.Если кто-то преуспевает в этом подходе, он не должен пренебрегать тем, чтобы увидеть, есть ли другие интересные явления, которые можно почерпнуть из исходной ситуации после того, как вы получите понимание из преобразованной.

Введение
Основные идеи
Раскраски для лица
Раскраски вершин
Немного истории
Список литературы

Дискретная математика: открытое введение, 3-е издание

Расследовать!

Картографы вымышленной страны Эулерия нарисовали границы различных герцогств этой страны.Чтобы карта выглядела красивой, они хотят раскрасить каждый регион. Соседние области должны быть окрашены по-разному, но совершенно нормально окрасить две удаленные области одним и тем же цветом. Какое наименьшее количество цветов могут использовать картографы и при этом выполнять эту задачу?

Пожалуй, самая известная проблема теории графов – это раскрашивание карт.

Для любой карты стран, штатов, округов и т. Д. Сколько цветов необходимо, чтобы раскрасить каждый регион на карте, чтобы соседние регионы были окрашены по-разному?

Фактические картографы обычно используют около семи цветов.Во-первых, они требуют, чтобы водянистые области были определенного цвета, а при большом количестве цветов легче найти допустимую окраску. Мы хотим знать, есть ли палитра меньшего размера, которая подойдет для любой карты.

Как это связано с теорией графов? Что ж, если мы разместим вершину в центре каждого региона (скажем, в столице каждого штата), а затем соединим две вершины, если их состояния имеют общую границу, мы получим граф. Раскрашивание областей на карте соответствует раскрашиванию вершин графа.Поскольку соседние области не могут быть окрашены одинаково, в нашем графе не может быть одинакового цвета вершин, когда эти вершины смежны.

В общем случае для любого графа \ (G \ text {,} \) раскраска вершин называется (что неудивительно) раскраской вершин . Если раскраска вершин имеет свойство, при котором соседние вершины окрашиваются по-разному, то раскраска называется , собственно . Каждый граф имеет правильную раскраску вершин. Например, вы можете раскрасить каждую вершину другим цветом.Но часто бывает лучше. Наименьшее количество цветов, необходимое для получения правильной раскраски вершин, называется хроматическим числом графа и записывается как \ (\ chi (G) \).

Пример 4.4.1.

Найдите хроматическое число на графиках ниже.

Решение

Граф слева – это \ (K_6 \ text {.} \). Единственный способ правильно раскрасить граф – это присвоить каждой вершине другой цвет (поскольку каждая вершина смежна с любой другой вершиной). Таким образом, хроматическое число равно 6.

Средний график можно правильно раскрасить всего тремя цветами (красным, синим и зеленым). Например:

Невозможно раскрасить его только двумя цветами, так как есть три вершины, смежные друг с другом (т.е. треугольник). Таким образом, хроматическое число 3.

Граф справа – это просто \ (K_ {2,3} \ text {.} \) Как и все двудольные графы, этот граф имеет хроматический номер 2: покрасьте вершины в верхнем ряду в красный цвет, а вершины в нижнем. ряд синий.

Похоже, что нет предела тому, насколько большие хроматические числа могут быть.Неудивительно, что \ (K_n \) имеет хроматическое число \ (n \ text {.} \) Так как же может быть ответ на исходный вопрос о раскраске карты? Если хроматическое число графа может быть сколь угодно большим, то кажется, что не будет верхней границы количества цветов, необходимых для любой карты. Но есть.

Ключевое наблюдение состоит в том, что хотя верно, что для любого числа \ (n \ text {,} \) существует граф с хроматическим числом \ (n \ text {,} \), только некоторые графы поступают как представления карт.Если вы конвертируете карту в граф, ребра между вершинами соответствуют границам между странами. Таким образом, вы должны иметь возможность соединять вершины таким образом, чтобы края не пересекались. Другими словами, все графики, представляющие карты, являются плоскими !

Итак, вопрос в том, какое наибольшее хроматическое число у любого плоского графа? Ответ – самая известная теорема теории графов:

Теорема 4.4.2. Теорема четырех цветов.

Если \ (G \) – плоский граф, то хроматическое число \ (G \) меньше или равно 4.Таким образом, любую карту можно правильно раскрасить в 4 или меньше цветов.

Мы не будем доказывать эту теорему. Действительно. Хотя теорему легко сформулировать и понять, доказательства нет. Фактически, в настоящее время не существует известного «простого» доказательства теоремы. Текущее лучшее доказательство по-прежнему требует мощных компьютеров для проверки неизбежного набора из 633 сводимых конфигураций . Идея состоит в том, что каждый граф должен содержать одну из этих приводимых конфигураций (этот факт также должен быть проверен компьютером), и что приводимые конфигурации могут быть раскрашены в 4 или меньше цветов.

Подраздел Раскраски в целом

Расследовать!

В следующем семестре математический факультет планирует предложить 10 занятий. Некоторые классы не могут работать одновременно (возможно, их ведет один и тот же профессор или они необходимы для старшеклассников).

Класс:	Конфликты с:
A	D I
B	D I J
C	E F I
D	A B F
E	C H I
F	C D I
G	J
H	E I J
I	A B C E F H
J	B G H

Сколько разных временных интервалов необходимо для проведения этих занятий (и какие из них следует проводить одновременно)? Что еще более важно, как мы можем использовать раскраску графа, чтобы ответить на этот вопрос?

Картография, конечно, не единственное применение раскраски графиков.Существует множество ситуаций, в которых вы можете захотеть разделить рассматриваемые объекты, чтобы связанные объекты не находились в одном наборе. Например, вы можете захотеть безопасно хранить химикаты. Во избежание взрыва нельзя хранить определенные пары химикатов в одном помещении. Раскрашивая граф (с вершинами, представляющими химические вещества, и ребрами, представляющими потенциальные негативные взаимодействия), вы можете определить наименьшее количество комнат, необходимых для хранения химикатов.

Вот еще пример:

Пример 4.4.3.

Радиостанции передают свой сигнал на определенных частотах. Однако количество частот на выбор ограничено, поэтому по всей стране многие станции используют одну и ту же частоту. Это работает, потому что станции расположены достаточно далеко друг от друга, и их сигналы не будут мешать; ни одно радио не могло принять их одновременно.

Предположим, что 10 новых радиостанций должны быть созданы в ненаселенном (радиостанциями) в настоящее время регионе. Радиостанции, расположенные достаточно близко друг к другу, чтобы создавать помехи, указаны в таблице ниже.Какое наименьшее количество частот могут использовать станции?

Решение

Представьте проблему в виде графа с вершинами в качестве станций и ребрами, когда две станции находятся достаточно близко, чтобы вызвать помехи. Ищем хроматическое число графа. Вершины, окрашенные одинаково, представляют станции, которые могут иметь одинаковую частоту.

Этот график имеет хроматическое число 5. Правильная 5-цветная раскраска показана справа. Обратите внимание, что граф содержит копию полного графа \ (K_5 \), поэтому можно использовать не менее 5 цветов.

В приведенном выше примере хроматическое число было 5, но это не контрпример к теореме о четырех цветах 4.4.2, поскольку график, представляющий радиостанции, не является плоским. Было бы неплохо иметь какой-нибудь быстрый способ найти хроматическое число графа (возможно, неплоского). Оказывается, никто не знает, существует ли эффективный алгоритм вычисления хроматических чисел.

Хотя нам, возможно, не удастся легко найти точное хроматическое число графика, мы часто можем дать разумный диапазон для хроматического числа.Другими словами, мы можем дать оценку хроматического числа сверху и снизу.

На самом деле это не очень сложно: для каждого графа \ (G \ text {,} \) хроматическое число \ (G \) не меньше 1 и не больше числа вершин графа \ (G \ text {.} \)

Что? Вы хотите лучше границы хроматического числа? Что ж, вам повезло.

Клика в графе – это набор вершин, каждая из которых попарно смежна. Другими словами, клика размера \ (n \) – это просто копия полного графа \ (K_n \ text {.} \) Мы определяем клику с числом графа как наибольшую \ (n \), для которой граф содержит клику размера \ (n \ text {.} \) Любую клику размера \ (n \) не может быть раскрашен менее чем \ (n \) цветами, поэтому у нас есть хорошая нижняя граница:

Теорема 4.4.4.

Хроматическое число графа \ (G \) не меньше кликового числа \ (G \ text {.} \)

Бывают случаи, когда хроматическое число \ (G \) равно , равному к номер клики. У этих графиков есть специальное название; они называются perfect .Если вы знаете, что граф идеален, то поиск хроматического числа – это просто поиск самой большой клики. ⁹ Однако не все графики идеальны.

Существуют специальные классы графов, которые можно доказать как совершенные. Одним из таких классов является набор хордовых графов , которые обладают тем свойством, что каждый цикл в графе содержит хорду – ребро между двумя вершинами цикла, которые не являются смежными в цикле.

Что касается верхней границы, мы можем улучшить «количество вершин», посмотрев на степени вершин.Пусть \ (\ Delta (G) \) будет наибольшей степенью любой вершины в графе \ (G \ text {.} \) Одно разумное предположение для верхней границы хроматического числа – \ (\ chi (G) \ le \ Delta (G) + 1 \ text {.} \) Почему это разумно? Начиная с любой вершины, ее вместе со всеми ее соседями всегда можно раскрасить в \ (\ Delta (G) + 1 \) цвета, поскольку мы говорим не более чем о \ (\ Delta (G) + 1 \) вершинах в этот набор. А теперь веером! В любой момент, если вы рассматриваете уже окрашенную вершину, некоторые из ее соседей могут быть окрашены, а некоторые нет.Но несмотря ни на что, эта вершина и ее соседи могут быть все отчетливо окрашены, поскольку существует не более \ (\ Delta (G) \) соседей плюс одна рассматриваемая вершина.

На самом деле, есть примеры графов, для которых \ (\ chi (G) = \ Delta (G) + 1 \ text {.} \) Для любого \ (n \ text {,} \) полный граф \ ( K_n \) имеет хроматическое число \ (n \ text {,} \), но \ (\ Delta (K_n) = n-1 \) (поскольку каждая вершина смежна с каждыми другими вершинами). Кроме того, любой нечетный цикл будет иметь хроматическое число 3, но степень каждой вершины в цикле равна 2.Оказывается, это единственные два типа примеров, в которых мы получаем равенство, результат, известный как теорема Брукса.

Теорема 4.4.5. Теорема Брукса.

Любой граф \ (G \) удовлетворяет \ (\ chi (G) \ le \ Delta (G) \ text {,} \), если \ (G \) не является полным графом или нечетным циклом, и в этом случае \ ( \ chi (G) = \ Delta (G) + 1 \ text {.} \)

Доказательство этой теоремы просто достаточно сложно, поэтому мы не будем приводить его здесь (хотя вас просят доказать частный случай в упражнениях).Любителям приключений предлагается найти книгу по теории графов, где можно найти советы о том, как доказать теорему.

Подраздел Раскраска Края

Хроматическое число графа говорит нам о раскраске вершин, но мы также можем спросить о раскраске ребер. Как и в случае с раскраской вершин, мы можем настоять на том, чтобы смежные ребра были окрашены по-разному. Здесь мы считаем два ребра смежными, если они инцидентны одной и той же вершине. Наименьшее количество цветов, необходимое для правильного окрашивания ребер графа \ (G \), называется хроматическим индексом для \ (G \ text {,} \), написанного \ (\ chi ‘(G) \).

Пример 4.4.6.

Шесть друзей решают провести день за игрой в шахматы. Каждый сыграет со всеми один раз. У них много шахматных наборов, но никто не хочет играть больше одной партии за раз. Игра продлится час (благодаря удобным шахматным часам). Сколько часов продлится турнир?

Решение

Изобразите каждого игрока вершиной и поместите грань между двумя игроками, если они будут играть друг с другом. В этом случае мы получаем график \ (K_6 \ text {:} \)

Мы должны раскрасить края; каждый цвет представляет другой час.Поскольку разные ребра, относящиеся к одной и той же вершине, будут окрашены по-разному, ни один игрок не будет играть в две разные игры (ребра) одновременно. Таким образом, нам нужно знать хроматический индекс \ (K_6 \ text {.} \)

Обратите внимание, что наверняка \ (\ chi ‘(K_6) \ ge 5 \ text {,} \), поскольку существует вершина степени 5. Оказывается, 5 цветов достаточно (иди найди такую раскраску). Поэтому друзья будут играть 5 часов.

Интересно, что если бы один из друзей в приведенном выше примере ушел, оставшимся 5 шахматам все равно потребовалось бы 5 часов: хроматический индекс \ (K_5 \) также равен 5.

В целом, что можно сказать о хроматическом индексе? Конечно \ (\ chi ‘(G) \ ge \ Delta (G) \ text {.} \) Но насколько это может быть выше? Только чуть выше.

Теорема 4.4.7. Теорема Визинга.

Для любого графа \ (G \ text {,} \) хроматический индекс \ (\ chi ‘(G) \) равен \ (\ Delta (G) \) или \ (\ Delta (G) + 1 \ text {.} \)

На первый взгляд из этой теоремы может показаться, что хроматический индекс не очень интересен. Однако решить, в каком случае находится граф, не всегда легко.Графы, для которых \ (\ chi ‘(G) = \ Delta (G) \), называются class 1 , а остальные – class 2 . Двудольные графы всегда удовлетворяют условию \ (\ chi ‘(G) = \ Delta (G) \ text {,} \), как и класс 1 (это было доказано Кенигом в 1916 году, за десятилетия до того, как Визинг доказал свою теорему в 1964 году). В 1965 году Визинг доказал, что все плоские графы с \ (\ Delta (G) \ ge 8 \) относятся к классу 1, но это не верно для всех плоских графов с \ (2 \ le \ Delta (G) \ le 5 \ text {.} \) Визинг предположил, что все плоские графы с \ (\ Delta (G) = 6 \) или \ (\ Delta (G) = 7 \) относятся к классу 1; случай \ (\ Delta (G) = 7 \) был доказан в 2001 году Сандерсом и Чжао; дело \ (\ Delta (G) = 6 \) все еще открыто.

Теория Рэмси.

Есть еще один интересный способ, с помощью которого мы можем рассмотреть раскрашивание краев, сильно отличающийся от того, что мы обсуждали до сих пор. Что, если бы мы покрасили каждое ребро графа в красный или синий цвет. Можем ли мы сделать это, например, не создавая монохроматический треугольник (т.е. полностью красный или полностью синий треугольник)? Конечно, для некоторых графиков ответ положительный. Попробуйте сделать это для \ (K_4 \ text {.} \) А как насчет \ (K_5 \ text {?} \) \ (K_6 \ text {?} \) Как далеко мы можем зайти?

Задача выше не слишком сложна и представляет собой забавное упражнение.Мы могли бы расширить вопрос разными способами. Что, если бы у нас было три цвета? Что, если бы мы пытались избежать других графиков. Удивительно, но об этих вопросах известно очень мало. Например, мы знаем, что вам нужно подняться до \ (K_ {17} \), чтобы заставить монохроматический треугольник с использованием трех цветов, но никто не знает, насколько большой вам нужно использовать больше цветов. Точно так же мы знаем, что использование двух цветов \ (K_ {18} \) – это наименьший граф, который заставляет монохроматическую копию \ (K_4 \ text {,} \), но лучшее, что у нас есть, чтобы заставить монохроматический \ (K_ {5 } \) – это диапазон от \ (K_ {43} \) до \ (K_ {49} \ text {.} \) Если вас интересуют вопросы такого рода, эта область теории графов называется теорией Рамсея. Проверить это.

Упражнения Упражнения

1.

Какое наименьшее количество цветов нужно, чтобы правильно раскрасить вершины \ (K_ {4,5} \ text {?} \), То есть найти хроматическое число графа.

Решение

2, так как граф двудольный. Один цвет для верхнего набора вершин, другой цвет для нижнего набора вершин.

2.

Нарисуйте график с хроматическим числом 6 (т.е., для правильной раскраски вершин требуется 6 цветов). Может ли ваш график быть плоским? Объяснять.

Решение

Например, \ (K_6 \ text {.} \) Если хроматическое число равно 6, то граф не плоский; теорема о 4-х цветах утверждает, что все плоские графы можно раскрасить в 4 или меньше цветов.

3.

Найдите хроматическое число каждого из следующих графиков.

Решение

Хроматические числа 2, 3, 4, 5 и 3 соответственно слева направо.

4.

Группа из 10 друзей решает отправиться в хижину в лесу (где ничего не могло пойти не так). К сожалению, некоторые из этих друзей встречались друг с другом в прошлом, и все еще немного неловко. Чтобы попасть в каюту, им нужно разделиться на некоторое количество машин, и никакие два человека, которые встречались, не должны находиться в одной машине.

Какое наименьшее количество машин вам нужно, если бы все отношения были строго гетеросексуальными? Представьте пример такой ситуации с помощью графика.Какой у вас график?
Поскольку некоторые из этих друзей встречались, также возникают конфликты между друзьями одного пола, перечисленными ниже. Какое наименьшее количество бесконфликтных машин они могли взять с собой в салон?
Друг A B C D E F G H я J
Конфликты CFJ J AEF H CFG ACEGI EFI D AFG B

5.

Какое наименьшее количество цветов можно использовать для окраски вершин куба, чтобы никакие две соседние вершины не были окрашены одинаково?

Решение

Куб может быть представлен в виде плоского графа и раскрашен двумя цветами следующим образом:

Поскольку было бы невозможно раскрасить вершины одним цветом, мы видим, что куб имеет хроматическое число 2 (он двудольный).

6.

Докажите, что хроматическое число любого дерева равно двум. Напомним, дерево – это связный граф без циклов.

Опишите процедуру окраски дерева ниже.
Хроматическое число \ (C_n \) равно двум, когда \ (n \) четное. Что идет не так, когда \ (n \) нечетное?
Докажите, что ваша процедура из части (а) всегда работает для любого дерева.
Теперь докажите индукцией, что каждое дерево имеет хроматическое число 2.

7.

Две приведенные ниже проблемы могут быть решены с помощью раскраски графов. Для каждой проблемы изобразите ситуацию с помощью графа, скажите, нужно ли раскрашивать вершины или ребра и почему, и используйте раскраску для решения проблемы.

В вашей квиддичной лиге 5 команд. На следующей неделе вы сыграете в турнире, в котором каждая команда сыграет с каждой другой командой по одному разу. Каждая команда может играть не более одного матча в день, но в день достаточно времени для нескольких матчей. Какое наименьшее количество дней может проводиться турнир?
Десять членов математического клуба едут на математическую конференцию в соседний штат. Однако некоторые из этих студентов встречались в прошлом, и все еще немного неловко.Каждый студент перечисляет, с кем из других студентов он отказывается делить машину; эти конфликты записаны в таблице ниже. Какое наименьшее количество автомобилей нужно клубу для поездки? Не беспокойтесь о нехватке мест, просто избегайте конфликтов.
Студент: A B C D E F G H я J
Конфликты: BEJ ADG HJ BF AI DJ B CI EHJ ACFI

Подсказка

Для (а) вы хотите, чтобы команды были вершинами, а игры – ребрами.Что имеет смысл раскрашивать?

8.

Докажите теорему о шести цветах: каждый плоский граф имеет хроматическое число 6 или меньше. Не предполагайте теорему о четырех цветах (доказательство которой НАМНОГО сложнее), но вы можете предположить тот факт, что каждый плоский граф содержит вершину степени не выше 5.

9.

Не все графики идеальны. Приведите пример графа с хроматическим числом 4, не содержащего копию \ (K_4 \ text {.} \), То есть не должно быть 4 вершин, все попарно смежных.

Решение

График колеса ниже обладает этим свойством. Внешняя часть колеса образует нечетный цикл, поэтому требуется 3 цвета, центр колеса должен отличаться от всех внешних вершин.

10.

Найдите хроматическое число на графике ниже и докажите, что вы правы.

Намекать

Хроматическое число – 4. Теперь докажите это!

Обратите внимание, что здесь нельзя использовать теорему о четырех цветах, теорему Брука или кликовое число. Фактически, этот граф, называемый графом Грёча , является самым маленьким графом с хроматическим числом 4, не содержащим никаких треугольников.

11.

Докажите индукцией по вершинам, что любой граф \ (G \), содержащий хотя бы одну вершину степени меньше, чем \ (\ Delta (G) \) (максимальная степень всех вершин в \ (G \)), имеет хроматическое число не более \ (\ Delta (G) \ text {.} \)

12.

У вас есть набор магнитных букв алфавита (по одной из 26 букв алфавита), которые вам нужно поместить в коробки. По понятным причинам вы не хотите помещать две последовательные буквы в одно и то же поле. Какое наименьшее количество ящиков вам нужно (при условии, что ящики вмещают столько букв, сколько им нужно)?

Решение

Если мы начертим граф, каждая буква которого представляет вершину, а каждое ребро соединяет две буквы, идущие подряд в алфавите, у нас будет граф, содержащий две вершины степени 1 (A и Z), а остальные 24 вершины – все из них. степень 2 (например, \ (D \) будет смежно как с \ (C \), так и с \ (E \)).По теореме Брукса этот граф имеет хроматическое число не больше 2, так как это максимальная степень в графе, а граф не является полным графом или нечетным циклом. Таким образом, нужны только две коробки.

13,

Предположим, вы покрасили ребра графа в красный или синий цвет (при этом не требуется, чтобы смежные ребра были окрашены по-разному). Что должно быть верно для графа, чтобы гарантировать, что некоторая вершина инцидентна трем ребрам одного цвета? Обоснуйте свой ответ.

Подсказка

Вы можете раскрасить \ (K_5 \) таким образом, чтобы каждая вершина была смежной ровно с двумя синими ребрами и двумя красными ребрами.Однако есть граф только с 5 ребрами, в результате которого вершина будет инцидентна трем ребрам одного цвета, независимо от того, как они окрашены. Что это такое и как можно обобщить?

Решение

14,

Докажите, что если вы окрасите каждое ребро \ (K_6 \) в красный или синий, вам гарантирован монохроматический треугольник (то есть полностью красный или полностью синий треугольник).

Подсказка

Предыдущее упражнение полезно в качестве отправной точки.

Раскраска графиков | Набор 1 (Введение и приложения)

Задача раскраски графа состоит в том, чтобы назначить цвета определенным элементам графа с учетом определенных ограничений.

Раскраска вершин – самая распространенная проблема раскраски графов. Задача состоит в том, чтобы с учетом m цветов найти способ раскрасить вершины графа так, чтобы никакие две соседние вершины не были окрашены в один цвет. Другие задачи раскраски графа, такие как Раскраска ребер (ни одна вершина не соприкасается с двумя ребрами одного цвета) и Раскраска лица (Раскраска географической карты), могут быть преобразованы в раскраску вершин.

Хроматическое число: Наименьшее количество цветов, необходимое для раскрашивания графа G, называется его хроматическим числом.Например, следующие можно раскрасить минимум в 2 цвета.

Задача найти хроматическое число данного графа – NP Complete.

Применение раскраски графов:

Задача раскраски графов имеет огромное количество приложений.

1) Составление расписания или расписания: Предположим, мы хотим составить расписание экзаменов для университета. У нас есть список разных предметов и студентов, обучающихся по каждому предмету.У многих предметов будут общие ученики (из той же группы, у некоторых есть отставшие и т. Д.). Как нам запланировать экзамен, чтобы не было двух экзаменов с общим учеником одновременно? Сколько минимальных временных интервалов необходимо для планирования всех экзаменов? Эта задача может быть представлена в виде графа, где каждая вершина является субъектом, а ребро между двумя вершинами означает, что есть общий ученик. Итак, это задача раскраски графа, в которой минимальное количество временных интервалов равно хроматическому числу графа.

2) Присвоение частот мобильной радиосвязи : Когда частоты назначаются вышкам, частоты, назначенные всем вышкам в одном месте, должны быть разными. Как назначить частоты с этим ограничением? Какое минимальное количество частот нужно? Эта проблема также является примером проблемы раскраски графа, где каждая башня представляет собой вершину, а ребро между двумя башнями означает, что они находятся в пределах досягаемости друг друга.

3) Судоку: Судоку также является разновидностью задачи раскраски графа, где каждая ячейка представляет собой вершину. Между двумя вершинами есть ребро, если они находятся в одной строке, в одном столбце или в одном блоке.

4) Размещение регистров : При оптимизации компилятора выделение регистров – это процесс присвоения большого количества переменных целевой программы небольшому количеству регистров ЦП.Эта проблема также является проблемой раскраски графа.

5) Двудольные графы: Мы можем проверить, является ли граф двудольным или нет, раскрасив граф в два цвета. Если данный граф 2-раскрашиваем, то он Двудольный, в противном случае – нет. См. Это для более подробной информации.

6) Раскраска карты: Географические карты стран или штатов, где никаким двум соседним городам нельзя присвоить одинаковый цвет. Четырех цветов достаточно, чтобы раскрасить любую карту (см. Теорему о четырех цветах)

Может быть гораздо больше приложений: Например, в приведенной ниже справочной видео-лекции есть тематическое исследование в 1:18.
Akamai управляет сетью из тысяч серверов, которые используются для распространения контента в Интернете. Они устанавливают новое или обновляют существующее программное обеспечение практически каждую неделю. Обновление не может быть развернуто на всех серверах одновременно, потому что сервер, возможно, придется отключить для установки. Кроме того, обновление не следует выполнять по одному, поскольку это займет много времени. Есть наборы серверов, которые нельзя снять вместе, потому что они выполняют определенные важные функции.Это типичное приложение для планирования задачи раскраски графа. Оказалось, что 8 цветов было достаточно, чтобы раскрасить граф из 75000 узлов. Таким образом, они могли устанавливать обновления за 8 проходов.

Мы скоро обсудим различные способы решения проблемы раскраски графа.
https://youtu.be/_sdVx_dWnlk
Ссылки:
Lec 6 | MIT 6.042J «Математика для информатики», осень 2010 г. | Видео-лекция

Пожалуйста, напишите комментарий, если вы обнаружите что-то неправильное, или вы хотите поделиться дополнительной информацией по теме, обсужденной выше

Вниманию читателя! Не прекращайте учиться сейчас.Освойте все важные концепции DSA с помощью курса DSA Self Paced Course по доступной для студентов цене и будьте готовы к работе в отрасли. Чтобы завершить подготовку от изучения языка к DS Algo и многому другому, обратитесь к Complete Interview Preparation Course .

Если вы хотите посетить живых занятий с экспертами, обратитесь к DSA Live Classes для работающих профессионалов и Конкурсное программирование в прямом эфире для студентов .

Раскраска графиков и хроматические числа

Этот график не двухцветный Этот график 3-раскрашиваем Этот график 4-цветный

Хроматическое число графа – это минимальное количество цветов, для которых возможна раскраска графа. Это определение немного нюансировано, так как, как правило, не сразу понятно, что такое минимальное число . Для определенных типов графов, таких как полные (KnK_nKn) или двудольные (Km, nK_ {m, n} Km, n), существует очень мало вариантов выбора, поэтому можно определить, например, что χ (Kn) = n \ chi (K_n) = nχ (Kn) = n, поскольку каждая вершина должна иметь другой цвет, чем остальные.Компонент минимальности хроматических чисел полезен для быстрого доказательства многих основных теорем, поскольку он позволяет сосредоточиться на крайних, а не общих случаях (здесь раскраски графов, которые минимизируют количество цветов). Именно по этой причине математики предпочитают такие определения.

Граф GGG называется kkk-раскрашиваемым , если существует раскраска графа на GGG в kkk цветов. Если граф kkk-раскрашиваем, то он nnn-раскрашиваем для любого n> kn> kn> k. Граф имеет хроматическое число, по крайней мере, такое же большое, как хроматическое число любого из его подграфов.\ text {th} n-й циклический граф CnC_nCn, где n> 2n> 2n> 2. Докажите, что

χ (Cn) = {2, если n четно3, если n нечетно. \ Chi (C_n) = \ begin {cases} 2 & \ text {if} n \ text {четно} \\ 3 & \ text {if} n \ text {нечетно.} \ end {ases} χ (Cn) = {23, если n четно, если n нечетно.

Предположим, что nnn четное. Тогда χ (Cn) ≠ 1 \ chi (C_n) \ ne 1χ (Cn)  = 1, поскольку в CnC_nCn два смежных ребра. Но существует раскраска графа для CnC_nCn, в которой вершины поочередно окрашены в красный и синий, поэтому χ (Cn) = 2 \ chi (C_n) = 2χ (Cn) = 2.

Предположим, что n> 2n> 2n> 2 нечетно. Тогда χ (Cn) ≠ 1 \ chi (C_n) \ ne 1χ (Cn)  = 1, поскольку в CnC_nCn два смежных ребра. Кроме того, χ (Cn) ≠ 2 \ chi (C_n) \ ne 2χ (Cn)  = 2, поскольку цвета вершин не могут чередоваться, поскольку последняя окрашиваемая вершина будет смежной как с красной, так и с синей вершиной. Но существует раскраска графа для CnC_nCn, где n − 1n – 1n − 1 вершин поочередно окрашены в красный и синий, а последняя вершина окрашена в желтый, поэтому χ (Cn) = 3 \ chi (C_n) = 3χ (Cn) = 3. □ _ \ квадрат □

Предположим, что граф GGG и граф G’G’G ‘объединены для создания графа HHH путем соединения каждой вершины GGG с каждой вершиной G’G’G’, а в противном случае все вершины и ребра остаются неизменными.Докажите, что χ (G) + χ (G ′) = χ (H). \ Chi (G) + \ chi (G ‘) = \ chi (H) .χ (G) + χ (G ′) = χ ( ЧАС).
Пусть GGG имеет раскраску графа в цвета {1,…, χ (G)} \ {1, \, \ dots, \, \ chi (G) \} {1,…, χ (G)} и G ′ G’G ′ имеют раскраску графа в цвета {χ (G) +1,…, χ (G) + χ (G ′)} \ {\ chi (G) + 1, \, \ dots, \, \ chi (G) + \ chi (G ‘) \} {χ (G) + 1,…, χ (G) + χ (G ′)}. Затем раскрасьте вершины в HHH из GGG и G′G’G ′ соответственно в цвета {1,…, χ (G) + χ (G ′)} \ {1, \, \ dots, \, \ chi (G ) + \ chi (G ‘) \} {1,…, χ (G) + χ (G ′)}. Поскольку никакие вершины GGG и G′G’G ′ не имеют одного цвета, это составляет раскраску графа HHH, откуда χ (H) ≤χ (G) + χ (G ′) \ chi (H) \ le \ chi (G) + \ chi (G ‘) χ (H) ≤χ (G) + χ (G ′).
Теперь рассмотрим раскраску минимального графа HHH. Предположим, что среди вершин из GGG есть nnn цветов, и предположим, что среди вершин из G′G’G ′ есть mmm цветов. Поскольку каждая вершина в GGG смежна с каждой вершиной в G′G’G ′, два набора вершин не могут иметь общего цвета. Таким образом, эта раскраска графа HHH имеет ровно n + mn + mn + m цветов. Но заметим, что n≥χ (G) n \ ge \ chi (G) n≥χ (G) и m≥χ (G ′) m \ ge \ chi (G ‘) m≥χ (G ′), иначе хроматическое число не было бы минимальным (подграф вершин из GGG в HHH – это в точности GGG; аналогично для G′G’G ′).Итак, χ (H) = n + m≥χ (G) + χ (G ′) \ chi (H) = n + m \ ge \ chi (G) + \ chi (G ‘) χ (H) = n + m≥χ (G) + χ (G ′).
Отсюда следует, что χ (G) + χ (G ′) = χ (H). \ Chi (G) + \ chi (G ‘) = \ chi (H) .χ (G) + χ (G ′) = χ (H). □ _ \ квадрат □

Друг	A	B	C	D	E	F	G	H	я	J
Конфликты	CFJ	J	AEF	H	CFG	ACEGI	EFI	D	AFG	B

Студент:	A	B	C	D	E	F	G	H	я	J
Конфликты:	BEJ	ADG	HJ	BF	AI	DJ	B	CI	EHJ	ACFI

Окрашивание волос в два цвета в домашних условиях » WomanMirror

Виды окрашивания волос в два цвета

Колорирование

Брондирование

Омбре (деграде)

3D–окрашивание

Мелирование

Покраска волос в два цвета в домашних условиях

Технология окрашивания

Почему стоит обратиться к профессиональному колористу

Видео: техника окрашивания Омбре в два цвета

Рекомендации специалистов, как покрасить волосы в два цвета

Несколько методов колорирования волос в 2 цвета

Технологии мелирования, позволяющие окраситься в 2 цвета

Окрашивание волос в 2 цвета по схеме: этапы

Фото

Сочетание цветовых оттенков при двухцветной покраске волос

Окрашивание волос в два цвета

Покраска волос в два цвета с фото-подборкой и объяснением, какие бывают техники

Что это такое?

Короткие волосы

Средние волосы

Длинные волосы

Модно и стильно

Видео-подборка

Двухтональное окрашивание: разнообразие вариантов и образов

Мелирование

Балаяж

Мажимеш

Шатуш

Колорирование

Омбре

Брондирование

3D–окрашивание

Рекомендации по окрашиванию

Окрашивание волос в два цвета

Преимущества покраски волос в два цвета

Виды окрашивания волос в два цвета

Окрашивание волос в два цвета: обзор модных техник

Богатый выбор техник

Полоса светлая, полоса темная…

Теневой метод обольщения

Поперек дороги

Прическа – холст художника

Вспомним уроки геометрии

Зона повышенного внимания

Вместо заключения

Похожие статьи

Окрашивание волос в два цвета. Виды окрашивания волос в два цвета.

Способы окрашивания волос в два цвета

Окрашивание волос в два цвета — виды

Мелирование

Как сделать мелирование в домашних условиях?

Омбре

Поперечное колорирование

Частичное колорирование

Окрашивание волос в два цвета для блондинок (фото)

Двухцветное окрашивание волос для блондинок

Основные стили окрашивания

Колорирование

Омбре

Брондирование

3D окрашивание и частичное колорирование

Мелирование для блондинок

Технология двойного окрашивания в домашних условиях

Подготовительный этап

Этап окрашивания

Советы для двойного окрашивания

Мелирование и колорирование: 2 эффективных способа покраски волос в два цвета

Мелирование традиционное: варианты

Частичное окрашивание длинных волос

Обратное на каре

Щадящее

Техника мелирования: американский вид и другие способы

«Мажиконтраст» подойдет темным локонам

Контрастное окрашивание для русых, рыжих, блондинок

«Crazycolors» — окрашивание волос в два цвета для короткой стрижки

Щадящее мелирование: балаяж

Колорирование: делаем черный с белым вместе

Полезные рекомендации